1金沢大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$\angle ACB=C$ とする。Cから出るベクトルは $$\overrightarrow{CA}=(a,0,-c),\qquad \overrightarrow{CB}=(0,b,-c),$$ なので $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=c^2>0$。したがって $C$ は鋭角である。面積条件より $$\displaystyle \frac12\cdot AC\cdot BC\sin C=\frac12\cdot2\cdot3\sin C =\frac{3\sqrt3}{2},$$ よって $\sin C=\sqrt3/2$、鋭角だから $\cos C=1/2$。

(1) 余弦定理から $$\displaystyle AB^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\frac12=7,$$ ゆえに $AB=\sqrt7$。

(2) 内積は長さと角でも計算できるので $$\displaystyle c^2=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} =AC\cdot BC\cos C=2\cdot3\cdot\frac12=3.$$ また $AC^2=a^2+c^2=4$、$BC^2=b^2+c^2=9$。$a,b,c$は正だから $$a=1,\qquad b=\sqrt6,\qquad c=\sqrt3.$$

(3) 底面を直角三角形OABとすると、体積は $$\displaystyle V=\frac13\cdot\frac{ab}{2}\cdot c=\frac{abc}{6}=\frac{\sqrt2}{2}.$$ 底面をABCに取り直し、Oからの垂線の長さを $h$ とすれば $$\displaystyle V=\frac13\cdot\frac{3\sqrt3}{2}h.$$ これを解いて $h=\sqrt6/3$。

答え

(1) $\displaystyle \sin\angle ACB=\frac{\sqrt3}{2},\quad AB=\sqrt7$。 (2) $a=1,\ b=\sqrt6,\ c=\sqrt3$。 (3) $\displaystyle V_{OABC}=\frac{\sqrt2}{2}$、高さ $\displaystyle =\frac{\sqrt6}{3}$。