2金沢大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad t&=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin(\theta+\tfrac\pi3),\\ -\tfrac\pi6\le&\theta+\tfrac\pi3\le\tfrac{5\pi}6,\\ \min \sin(\theta+\tfrac\pi3)&=-\tfrac12,\quad \max \sin(\theta+\tfrac\pi3)=1,\quad -1\le t\le2.\\[2mm] \text{(2)}\quad \sin3\theta&=\sin(2\theta+\theta) =2\sin\theta\cos^2\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\\ &=3\sin\theta-4\sin^3\theta.\\ \alpha&=\theta+\tfrac\pi3,\quad t=2\sin\alpha,\\ \frac{t^3-3t}{2}&=4\sin^3\alpha-3\sin\alpha=-\sin3\alpha=\sin3\theta.\\[2mm] \text{(3)}\quad f(\theta)&=\frac23\cdot\frac{t^3-3t}{2}-t =\frac{t^3}{3}-2t=:g(t),\\ g'(t)&=t^2-2,\\ g(-1)&=\tfrac53,\quad g(\sqrt2)=-\tfrac{4\sqrt2}{3},\quad g(2)=-\tfrac43,\\ \max\limits _{-1\le t\le2}g&=\tfrac53\quad(t=-1),\qquad \min\limits _{-1\le t\le2}g=-\tfrac{4\sqrt2}{3}\quad(t=\sqrt2),\\ t=-1&\text{であるための必要十分条件は} \sin(\theta+\tfrac\pi3)=-\tfrac12\text{、すなわち}\theta=-\tfrac\pi2,\\ t=\sqrt2&\text{であるための必要十分条件は} \sin(\theta+\tfrac\pi3)=\tfrac{\sqrt2}{2}\\ &\text{であるための必要十分条件は} \theta+\tfrac\pi3=\tfrac\pi4\text{ または }\tfrac{3\pi}4 \text{、すなわち} \theta=-\tfrac\pi{12}\text{ または }\tfrac{5\pi}{12}. \end{aligned}$$