4高知大学 2013年 数学 第4問解答・解説

設問(1)

積の微分公式と指数関数の微分公式により $$f'(x)=\left(x^{3}\right)'e^{-9x}+x^{3}\left(e^{-9x}\right)'=3x^{2}e^{-9x}+x^{3}\cdot(-9)e^{-9x}=3x^{2}(1-3x)e^{-9x}.$$ （検算：$x=1$で直接微分の定義から近似しても$f'(1)=3(1-3)e^{-9}=-6e^{-9}$となり，公式の値と一致する。）

設問(2)

$e^{-9x}>0$ は常に成り立つから，$f'(x)$ の符号は $3x^{2}(1-3x)$ の符号と一致する。$x=0$ では $f'(0)=0$ であるが，$x^{2}$ は重解であり $x=0$ の前後で $(1-3x)$ の符号（ともに正）は変わらないため，$f'(x)$ はここでは符号を変えない。一方 $\displaystyle x=\dfrac13$ の前後では $(1-3x)$ の符号が正から負に変わるため，$f'(x)$ もそこで正から負へ符号を変える。 $$\displaystyle f'(x)\ge0\ \left(x\le\frac13\right),\qquad f'(x)\le0\ \left(x\ge\frac13\right)$$ （等号は $\displaystyle x=0,\frac13$ でのみ成立）であるから，$f$ は $\displaystyle x\le\frac13$ で単調増加，$\displaystyle x\ge\frac13$ で単調減少である。したがって $-1\le x\le1$ の範囲では $f$ は $\displaystyle x=\frac13$ でただ一つの山を持つ「増加してから減少する」関数であり，$\displaystyle x=\frac13$ で最大値をとる。

端点・頂点の値を計算すると $$\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}e^{9}=-e^{9},\qquad f\!\left(\frac13\right)=\frac{1}{27}e^{-3},\qquad f(1)=e^{-9}.$$ 数値的には $\displaystyle -e^{9}\approx-8103.08<0<e^{-9}\approx1.234\times10^{-4}<\dfrac{e^{-3}}{27}\approx1.844\times10^{-3}$ であり，この大小関係が場合分けの根拠になる。

$f$ は $\displaystyle -1\le x\le\frac13$ で増加（値域 $\displaystyle -e^9\le f(x)\le\frac{e^{-3}}{27}$，その範囲の各値をただ一度ずつとる），$\displaystyle \frac13\le x\le1$ で減少（値域 $\displaystyle e^{-9}\le f(x)\le\frac{e^{-3}}{27}$，その範囲の各値をただ一度ずつとる）だから，直線 $y=a$ との共有点 $x$ の個数（$-1\le x\le1$ に制限）は次のようになる（$\displaystyle x=\frac13$ は両側で共有する頂点なので重複しない）。 $$\displaystyle \begin{cases} 0\text{個} & \left(a<-e^{9}\ \text{または}\ a>\dfrac{e^{-3}}{27}\right)\\[4pt] 1\text{個} & \left(-e^{9}\le a<e^{-9}\right)\quad\text{（増加側のみが対応）}\\[4pt] 2\text{個} & \left(e^{-9}\le a<\dfrac{e^{-3}}{27}\right)\quad\text{（増加側・減少側の両方が対応）}\\[4pt] 1\text{個} & \left(a=\dfrac{e^{-3}}{27}\right)\quad\text{（頂点 }x=\tfrac13\text{ のみ）} \end{cases}$$ （検算：$a=0$ を代入すると $-e^{9}\le0<e^{-9}$ の範囲に入るので1個。実際 $f(x)=0$ は $x=0$ のみで，$1$個と一致する。）

設問(3)

$x=\cos\theta$ とおくと，$f(\cos\theta)=a$ を満たす $\displaystyle -\frac53\pi\le\theta\le\frac53\pi$ の範囲の $\theta$ の個数は，(2)で調べた $-1\le x\le1$ の各解 $x_{0}$ に対して「$\cos\theta=x_{0}$ かつ $\displaystyle -\frac53\pi\le\theta\le\frac53\pi$」を満たす $\theta$ の個数 $N(x_{0})$ の総和である。

まず $y=\cos\theta$ の $\displaystyle -\frac53\pi\le\theta\le\frac53\pi$ の範囲での増減を調べる。$\sin\theta=0$ となる $\theta=-\pi,0,\pi$ で単調区間が切り替わり，端点の値は $\displaystyle \cos\left(\pm\frac53\pi\right)=\cos\left(\mp\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$ だから $$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} \theta & -\frac53\pi\le\theta\le-\pi & -\pi\le\theta\le0 & 0\le\theta\le\pi & \pi\le\theta\le\frac53\pi\\\hline \cos\theta\text{の変化} & \frac12\searrow-1 & -1\nearrow1 & 1\searrow-1 & -1\nearrow\frac12 \end{array}$$ の4つの単調区間に分かれる（各範囲では、示した値の範囲の各値をただ一度ずつとる）。端点の重複（$\theta=-\pi,0,\pi$ は隣り合う区間で共有）に注意して $c=x_{0}$ ごとの解の個数 $N(c)$ を数えると $$\displaystyle N(c)= \begin{cases} 2 & (c=-1)\quad(\theta=-\pi,\pi)\\ 4 & \left(-1<c\le\dfrac12\right)\\ 2 & \left(\dfrac12<c<1\right)\\ 1 & (c=1)\quad(\theta=0) \end{cases}$$ （検算：$\displaystyle c=\frac12$ のとき $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ の解は $\displaystyle \theta=\pm\frac{\pi}{3},\ \pm\frac53\pi$ の4個で $N=4$ と一致。$c=0.7$（$\displaystyle >\frac12$）のとき $\theta=\pm\arccos0.7\approx\pm0.795$ の2個のみで $N=2$ と一致。）

閾値 $\displaystyle \frac12$ に対応する $a$ の値として $$\displaystyle f\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{3}e^{-9/2}=\frac18 e^{-9/2}$$ を用いる。$\displaystyle e^{-9}\approx1.234\times10^{-4}<\frac18e^{-9/2}\approx1.389\times10^{-3}<\frac{e^{-3}}{27}\approx1.844\times10^{-3}$ である。

(2)の各場合に対し，対応する $x_{0}$ が $\displaystyle \frac12$ より大きいか小さいかを確認しながら $N$ の和を求める。

・ $a<-e^{9}$：$x_{0}$ なし。合計 $0$。

・ $a=-e^{9}$：$x_{0}=-1$ のみ。$N(-1)=2$。合計 $2$。

・ $-e^{9}<a<e^{-9}$：増加側の解 $x_1$ は $\displaystyle -1<x_{1}<\frac13$ を満たすもの一つだけで，つねに $\displaystyle x_{1}<\frac13<\frac12$ だから $N(x_{1})=4$。合計 $4$。

・ $a=e^{-9}$：$\displaystyle -1<x_{1}<\frac13$ を満たす増加側の解 $x_1$（$N=4$）と、減少側の端点 $x_{2}=1$（$N(1)=1$）。合計 $5$。

・ $\displaystyle e^{-9}<a<\frac18e^{-9/2}$：増加側 $\displaystyle x_{1}<\frac13<\frac12$ で $N(x_{1})=4$。減少側は $f$ が単調減少なので $\displaystyle a<f(\frac12)$ に対応する $x_{2}$ は $\displaystyle \frac12$ より大きく（かつ $a>e^{-9}$ より $x_{2}<1$），$N(x_{2})=2$。合計 $4+2=6$。

・ $\displaystyle a=\frac18e^{-9/2}$：$\displaystyle x_{2}=\frac12$ ちょうど。$N(x_{2})=4$，$N(x_{1})=4$。合計 $8$。

・ $\displaystyle \frac18e^{-9/2}<a<\frac{e^{-3}}{27}$：$\displaystyle \frac13<x_{2}<\frac12$ で $N(x_{2})=4$，$N(x_{1})=4$。合計 $8$。

・ $\displaystyle a=\frac{e^{-3}}{27}$：$\displaystyle x_{1}=x_{2}=\frac13$（1点のみ）で $N=4$。合計 $4$。

・ $\displaystyle a>\frac{e^{-3}}{27}$：$x_{0}$ なし。合計 $0$。

この一覧（$0,2,4,5,6,8,8,4,0$）の中で合計がちょうど $6$ になるのは $$\displaystyle e^{-9}<a<\frac18e^{-9/2}$$ の範囲のみであり，両端では合計が $5,8$ となるため含まれない。

よって求める $a$ の範囲は $$\displaystyle e^{-9}<a<\frac{1}{8}e^{-\frac92}.$$