2高知大学 2013年 数学 第2問解答・解説

設定（図の読み取り） 図より，折れ線 $\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3\cdots$ は次の規則で作られている。

・ $\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$ は $x$ 軸の正の向きから測って角 $\theta$ だけ上向きに傾いた線分である（$\mathrm{P}_0$ での角 $\theta$ が $x$ 軸と $\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$ の間に描かれている）。

・ 各 $\mathrm{P}_{k}$（$k=1,2,3,\dots$）を通り $x$ 軸に平行な破線が引かれ，次の線分 $\mathrm{P}_k\mathrm{P}_{k+1}$ はその破線から角 $\theta$ だけ上向きに傾く。ただし図から，$k$ が奇数のとき（$\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3\mathrm{P}_4$，…）は破線の負の向き（左向き）から角 $\theta$ 上向き，$k$ が偶数のとき（$\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4\mathrm{P}_5$，…）は破線の正の向き（右向き）から角 $\theta$ 上向きである。

したがって，第 $n$ 番目の変位ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}$ の向きは，$x$ 軸正方向を基準とする偏角で表すと $$n\ \text{が奇数（}n=1,3,5,\dots\text{）のとき角 }\theta,\qquad n\ \text{が偶数（}n=2,4,6,\dots\text{）のとき角 }\pi-\theta$$ であり，大きさは $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n=\dfrac{1}{2^{\,n-1}}$ である。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}=\frac{1}{2^{\,n-1}}\bigl(\cos(\text{偏角}),\ \sin(\text{偏角})\bigr) =\frac{1}{2^{\,n-1}}\Bigl((-1)^{\,n-1}\cos\theta,\ \sin\theta\Bigr)$$ （$n$ 奇数なら $(-1)^{n-1}=1$ で $(\cos\theta,\sin\theta)$，$n$ 偶数なら $(-1)^{n-1}=-1$ で $(-\cos\theta,\sin\theta)$ となり，上の記述と一致する）。$\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos\theta>0,\ \sin\theta>0$ であり，これは図の $\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2,\mathrm{P}_3$ の位置関係（$x$ 座標は正で増減を繰り返しながら，$y$ 座標は単調に増加する）とも合致する。

(1) 各線分の長さは $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n=\dfrac{1}{2^{\,n-1}}$ であり，これは初項 $1$，公比 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$（$\displaystyle \left|\dfrac12\right|<1$）の無限等比級数である。よって $$\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2+\cdots+\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n+\cdots =\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}}=\frac{1}{1-\frac12}=2.$$ （この値は $\theta$ に依存しない全経路の長さである。）

(2) $\displaystyle \mathrm{P}_n=\mathrm{P}_0+\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}\overrightarrow{\mathrm{P}_{k-1}\mathrm{P}_k}$ であり，$\mathrm{P}_0$ は原点だから，$\mathrm{P}_n=(x_n,y_n)$ とおくと $$\displaystyle x_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{\,k-1}}{2^{\,k-1}}\cos\theta,\qquad y_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{2^{\,k-1}}\sin\theta.$$ $x_n$ の和は初項 $1$，公比 $\displaystyle -\dfrac12$ の等比数列の和であるから $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\left(-\frac12\right)^{k-1}=\frac{1-\left(-\frac12\right)^{n}}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n}\right\}$$ より $$\displaystyle x_n=\frac{2}{3}\cos\theta\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n}\right\}.$$ $y_n$ の和は初項 $1$，公比 $\displaystyle \dfrac12$ の等比数列の和であるから $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac12\right)^{k-1}=\frac{1-\left(\frac12\right)^{n}}{1-\frac12}=2\left\{1-\left(\frac12\right)^{n}\right\}$$ より $$\displaystyle y_n=2\sin\theta\left\{1-\left(\frac12\right)^{n}\right\}.$$ ゆえに $$\displaystyle \mathrm{P}_n\left(\frac{2}{3}\cos\theta\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n}\right\},\ \ 2\sin\theta\left\{1-\left(\frac12\right)^{n}\right\}\right).$$

検算：$n=1$ とすると $\displaystyle x_1=\dfrac23\cos\theta\cdot\dfrac32=\cos\theta$，$\displaystyle y_1=2\sin\theta\cdot\dfrac12=\sin\theta$ となり，これは $\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$ の変位そのもの（長さ $1$，偏角 $\theta$）と一致する。$n=2$ とすると $\displaystyle x_2=\dfrac23\cos\theta\cdot\dfrac34=\dfrac12\cos\theta$，$\displaystyle y_2=2\sin\theta\cdot\dfrac34=\dfrac32\sin\theta$ となり，これは直接 $\displaystyle \mathrm{P}_1+\overrightarrow{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2}=(\cos\theta,\sin\theta)+\dfrac12(-\cos\theta,\sin\theta)=\left(\dfrac12\cos\theta,\dfrac32\sin\theta\right)$ と加算した結果に一致する。$n=3$ でも同様に $\displaystyle x_3=\dfrac34\cos\theta$，$\displaystyle y_3=\dfrac74\sin\theta$ となり，直接計算 $\displaystyle \left(\dfrac12\cos\theta,\dfrac32\sin\theta\right)+\dfrac14(\cos\theta,\sin\theta)$ と一致することを確認した。

(3) $\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のもとで $n\to\infty$ とすると，$\displaystyle \left|-\dfrac12\right|<1,\ \left|\dfrac12\right|<1$ であるから $$\displaystyle \left(-\frac12\right)^{n}\to 0,\qquad \left(\frac12\right)^{n}\to 0\quad(n\to\infty).$$ よって $$\displaystyle x_n\to \frac{2}{3}\cos\theta,\qquad y_n\to 2\sin\theta.$$ したがって，$n$ を限りなく大きくするとき，点 $\mathrm{P}_n$ は点 $$\displaystyle \left(\frac{2}{3}\cos\theta,\ 2\sin\theta\right)$$ に限りなく近づく。（この極限座標は，各変位を(1)で得た無限等比級数の和の考え方で $x$ 成分・$y$ 成分ごとに足し合わせた結果とも一致し，(1)の全長 $2$ が $x$ 成分の縮小と $y$ 成分の増大に配分されている様子と整合する。）

数理の主要結論・計算を確認した。医学部範囲内であり、旧解説を採用候補として保存。