10千葉大学 2000年 数学 第10問解答・解説

PDF p.13〜15の問10[ア][イ][ウ]を画像照合。流れ図はk,x,sの順に更新、新xをsへ加え、判定$2s-3x<n$を先に行う。p.1は問1から始まり表紙なし、書誌対応を別根拠とする。

[ア](1) 正三角形の第三頂点は、$\beta-\alpha$ を $60^\circ$ または $-60^\circ$ 回転して $\alpha$ に足したものである。正の向きでは $$\displaystyle \gamma=\frac{t+\sqrt3s}{2}+i\frac{s+\sqrt3t}{2}.$$ 負の向きの実部・虚部をともに正とするには $t>\sqrt3s$ と $s>\sqrt3t$ が必要で矛盾。従って $$\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{1+\sqrt3i}{2}.$$ (2) $\gamma=x+iy$ とおくと $s=\sqrt3x-y,t=\sqrt3y-x$。逆にこの式で $s,t$ を定めれば上の式を満たすから、軌跡は $$0<\sqrt3x-y<1,\qquad0<\sqrt3y-x<1$$ の表す開平行四辺形。下図の破線境界・頂点は全て含まない。

[イ] $j$ 回更新した状態を $k_j,x_j,s_j$ とすると、初期値は全て1であり、$k_j=1+j$。$x_{j+1}=3x_j-1$ から $x_{j+1}-1/2=3(x_j-1/2)$ なので $$\displaystyle x_j=\frac{3^j+1}{2},\qquad s_j=1+\sum\limits _{h=1}^{j}x_h=\frac{3^{j+1}+2j+1}{4}.$$ 判定量は $2s_j-3x_j=j-1$。$j=0,\ldots,n$ では更新し、$j=n+1$ で初めて終了する。従って $$\displaystyle k=n+2,\qquad x=\frac{3^{n+1}+1}{2},\qquad s=\frac{3^{n+2}+2n+3}{4}.$$

[ウ](1) 行の確率を足すと $P(X=-1)=P(X=1)=1/2$。 (2) $X+Y=-2,0,2$ の確率は順に $a,1-2a,a$。 (3) 期待値は $-2a+2a=0$、分散は二乗の期待値 $4a+4a=8a$。 (4) 独立なら $a=P(X=1)P(Y=1)=1/4$。逆に $a=1/4$ なら同時分布の4セルが全て周辺確率の積に一致するので独立である。