8千葉大学 2000年 数学 第8問解答・解説

[ア](1) $w=(\gamma-\alpha)/(\beta-\alpha)$ とおく。正三角形の条件から $|w|=|w-1|=1$ であり、$w=u+iv$ とすれば $$u^2+v^2=(u-1)^2+v^2=1$$ より $u=1/2$、$v=\pm\sqrt3/2$。したがって $w=1/2\pm(\sqrt3/2)i$。

$\gamma=\alpha+w(\beta-\alpha)=ti+w(1-ti)$ である。正符号の場合 $$\displaystyle \gamma=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}t\right)+i\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac t2\right),$$ となり実部・虚部はともに正である。負符号の場合の虚部は $(t-\sqrt3)/2<0$（$0\le t\le1<\sqrt3$）となる。よって $$\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

[ア](2) 上の式で $t$ が0から1まで動くと、$\gamma$ は $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}t,\frac{\sqrt3}{2}+\frac t2\right)$$ を動く。したがって $y=(x+1)/\sqrt3$ 上の、端点 $(1/2,\sqrt3/2)$ と $((1+\sqrt3)/2,(1+\sqrt3)/2)$ を結ぶ線分である。

[イ] 長方形内の処理は上から順に行われるので、1回の繰返しで更新後の $x$ が $s$ に加えられる。繰返し回数を $j$ としたときの状態を $(k_j,x_j,s_j)$ とすると $$k_j=1+j,\qquad x_j=1+3j,$$ $$\displaystyle s_j=1+\sum\limits _{r=1}^j(1+3r)=\frac{3j^2+5j+2}{2}.$$ 判定式の左辺は $$6s_j-x_j^2=3(3j^2+5j+2)-(1+3j)^2=9j+5.$$ よって $j<n$ では $9j+5<9n$ で繰返し、$j=n$ では $9n+5<9n$ が成り立たず終了する。したがって終了時は $$\displaystyle k=n+1,\qquad x=3n+1,\qquad s=\frac{3n^2+5n+2}{2}.$$