7千葉大学 2000年 数学 第7問解答・解説

$n\ge3$ を固定する。まず任意の整数解 $(x,y,z)$ について、式を 2 で考えると $x^n\equiv0\pmod{2}$ なので x は偶数である。$x=2u$ とおいて元の式を 2 で割ると $$2^{n-1}u^n+y^n=2z^n.$$ 左辺第1項と右辺は偶数だから $y^n$ も偶数、したがって y は偶数である。$y=2v$ として元の式を 4 で割ると $$2^{n-2}u^n+2^{n-1}v^n=z^n.$$ $n\ge3$ より左辺は偶数であるため $z^n$ も偶数、従って z も偶数となる。よって、解があれば x,y,z はすべて偶数である。

非零整数解があると仮定し、そのような解の中から $\displaystyle M=\max(|x|,|y|,|z|)$ が最小となるものを選ぶ。上で示した偶奇性から $x=2X, y=2Y, z=2Z$ と書ける。元の式を $2^n$ で割れば $$X^n+2Y^n=4Z^n$$ となり、$(X,Y,Z)\ne(0,0,0)$ である。一方 $$\displaystyle \max(|X|,|Y|,|Z|)=\frac M2<M$$ なので、M の最小性に矛盾する。したがって非零整数解は存在しない。原点は元の式を満たすため、唯一の整数解は $$(x,y,z)=(0,0,0)$$ である。