4広島大学 2008年 数学 第4問解答・解説

$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ の大きさはともに $\sqrt{2}$、なす角は $120^\circ$ であるから、$\vec a\cdot\vec a=\vec b\cdot\vec b=2$、$\vec a\cdot\vec b=\sqrt2\cdot\sqrt2\cos120^\circ=-1$。

(1)　 $(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=2+2(-1)+2=2$。

(2)　 $k,\ell$ は整数なので、$$\begin{aligned}|k\overrightarrow{a}+\ell\overrightarrow{b}|^2&=k^2|\overrightarrow{a}|^2+2k\ell(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})+\ell^2|\overrightarrow{b}|^2\\&=2k^2-2k\ell+2\ell^2=2(k^2-k\ell+\ell^2)\end{aligned}$$。　 よってこれは偶数である。

(3)　 k,$\ell$ の偶奇を考える。 $(k,\ell)$ が (奇,偶)、(偶,奇)、(奇,奇) のいずれの場合も、$k^2-k\ell+\ell^2$ は奇数である（それぞれ奇-偶+偶、偶-偶+奇、奇-奇+奇となる）。したがって $|k\vec a+\ell\vec b|^2$=$2(k^2-k\ell+\ell^2)$ は4を法として2に合同であり、4の倍数ではない。

(4)　 $(m,n)\ne(0,0)$ とする。両方を割る最大の2のべき乗を用いて $m=2^t k,\quad n=2^t\ell$（t は0以上の整数）と表せば、$k,\ell$ は整数で少なくとも一方は奇数である。 (3) より $q=|k\vec a+\ell\vec b|^2$ は偶数だが4の倍数ではない。もし $|m\vec a+n\vec b|=N$ が整数なら、$N^2=4^tq$ である。t 回、N^2 が4の倍数なら N は偶数であることを用いて両辺を4で割ると、$q$ は整数の平方となる。しかし偶数の平方は4の倍数だから、これは q が4の倍数でないことに矛盾する。よって |m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$| は整数ではない。