2広島大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) $u\ge0$ に対して $$\displaystyle F(u)=\log(1+u)-\frac{u}{1+u},\qquad G(u)=u-\log(1+u)$$ とおくと、 $$\displaystyle F'(u)=\frac{u}{(1+u)^2}\ge0,\qquad G'(u)=\frac{u}{1+u}\ge0, \qquad F(0)=G(0)=0$$ である。したがって $u/(1+u)\le\log(1+u)\le u$。ここで $u=x/n$ とすれば、$0\le x\le1$ より $n+x\le n+1$ だから $$\displaystyle \frac{x}{n+1}\le\frac{x}{n+x}=\frac{x/n}{1+x/n} \le\log\left(1+\frac{x}{n}\right)\le\frac{x}{n}.$$

(2) $f(t)=t^5$ は $0\le t\le1$ で単調増加する。各 $k=1,\ldots,n$ について $$\displaystyle \frac1n\left(\frac{k-1}{n}\right)^5 \le\int_{(k-1)/n}^{k/n}t^5\,dt \le\frac1n\left(\frac{k}{n}\right)^5.$$ これらを加え、$\displaystyle S_n=\dfrac1n\sum\limits _{k=1}^n(k/n)^5$ とおくと $$\displaystyle S_n-\frac1n\le\int_0^1t^5\,dt=\frac16\le S_n.$$ よって $S_n\to1/6$ であり、求める極限は $\boxed{1/6}$。

(3) $a_n>0$ なので対数をとると $$\displaystyle \log a_n=\sum\limits _{k=1}^n\log\left(1+\frac1n\left(\frac{k}{n}\right)^5\right).$$ 各 $x_k=(k/n)^5$ は $0\le x_k\le1$ を満たすから、(1)を適用して $$\displaystyle \frac1{n+1}\sum\limits _{k=1}^n x_k\le\log a_n\le\frac1n\sum\limits _{k=1}^n x_k, \qquad\text{すなわち}\qquad \frac{n}{n+1}S_n\le\log a_n\le S_n.$$ (2)から両端はともに $1/6$ に収束するので、はさみうちにより $\log a_n\to1/6$。指数関数の連続性より $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=e^{1/6}}.$$