1広島大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) ①は正しくない。$$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$ とすると、 $$A^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O$$ であるから$A^3=O$であるが、$A\ne O$である。したがって①は誤りである。 一方、$A=O$ならば$A^2=OO=O$であるから、②は正しい。

(2) Aが逆行列をもつと仮定し、その逆行列を$B$とする。このとき$BA=E$である。結合則により $$B^3A^3=B^2(BA)A^2=B^2A^2=B(BA)A=BA=E.$$ しかし$A^3=O$より$B^3A^3=B^3O=O$である。よって$E=O$となるが、単位行列$E$は零行列ではない。矛盾するので、$A$は逆行列をもたない。

(3) $t=a+d$、$\delta=ad-bc$とおく。問題文の等式は $$A^2-tA+\delta E=O$$ である。もし$\delta\ne0$ならば $$A(A-tE)=A^2-tA=-\delta E$$ となる。そこで$\displaystyle C=-\dfrac{1}{\delta}(A-tE)$とおくと、 $$\displaystyle AC=E,\qquad CA=-\dfrac{1}{\delta}(A^2-tA)=E$$ であるから、$A$は逆行列をもつ。これは(2)に反する。したがって$\delta=0$である。 このとき与えられた等式から$A^2=tA$を得る。両辺に右から$A$を掛けると$A^3=tA^2$であり、$A^3=O$より$tA^2=O$である。$t=0$ならば$A^2=tA=O$。$t\ne0$ならばこの等式を$t$で割って$A^2=O$を得る。いずれの場合も$A^2=O$である。

(1) $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$では$A^2=O$かつ$A\ne O$なので$A^3=O$となり、①は誤り。$A=O$なら$A^2=O$なので②は正しい。(2) 逆行列$B$があるなら$B^3A^3=E$だが、$A^3=O$より同じ積は$O$となり矛盾。(3) $t=a+d,\quad\delta=ad-bc$とおく。問題文で許された$A^2-tA+\delta E=O$から、$\delta\ne0$の場合$\displaystyle C=-\frac{A-tE}{\delta}$とすれば$AC=CA=E$となり(2)に反する。従って$\delta=0$、$A^2=tA$。これに右から$A$を掛け$A^3=tA^2=O$を使えば、$t=0$でも$t\ne0$でも$A^2=O$。