8弘前大学 2009年 数学 第8問解答・解説

行列の全成分が正なので、行列積の定義から $A^n$ の全成分も正である。 $A^nA=AA^n$ の非対角成分を比べると $$b(a_n-d_n)=b_n(a-d),\qquad c(a_n-d_n)=c_n(a-d).$$ $a-d>0$ なので $$\displaystyle \frac{b_n}{b}=\frac{a_n-d_n}{a-d}=\frac{c_n}{c}>0.$$ $b>c$ より $b_n>c_n$ が得られる。 また $A^{n+1}=A^nA$ より $$\begin{aligned} a_{n+1}-b_{n+1}&=a_n(a-b)+b_n(c-d)>0,\\ c_{n+1}-d_{n+1}&=c_n(a-b)+d_n(c-d)>0. \end{aligned}$$ 従って $n\ge2$ で $a_n>b_n$ と $c_n>d_n$。$n=1$ でも仮定から成り立つ。以上を合わせ、全ての正整数nについて $$\boxed{a_n>b_n>c_n>d_n>0}$$ が示された。