10弘前大学 2009年 数学 第10問解答・解説

第1の等比数列の第$n$項は$2^n$、第2の等比数列の第$m$項は$3^m$である（$n,m\ge1$）。

与えられた値から、$\log_6 3=\log_6(6/2)=1-\log_6 2=0.613148\cdots$である。したがって、 $$\log_6(2^{613})=613\log_6 2\approx237.141,\quad \log_6(3^{387})=387\log_6 3\approx237.288,\quad \log_6(2^{614})=614\log_6 2\approx237.528.$$ 底$6$の対数関数は増加するから、$2^{613}<3^{387}<2^{614}$である。

$3^{387}$以下の第1の等比数列の項は$2^1,\ldots,2^{613}$の$613$個、第2の等比数列の項は$3^1,\ldots,3^{387}$の$387$個である。また、$2^n$は偶数、$3^m$は奇数なので、二つの数列に共通の項はない。よって、$3^{387}$は小さい順に並べた数列の第$613+387=1000$項である。したがって、求める項は第2の等比数列の第387項である。