7弘前大学 2009年 数学 第7問解答・解説

積和公式 $\displaystyle \sin x\cos(kx)=\frac12\{\sin((k+1)x)+\sin((1-k)x)\}$ を用いる。まず $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi \sin^2x\,dx&=\frac\pi2,\\ \int_0^\pi \cos^2(kx)\,dx &=\int_0^\pi \frac{1+\cos(2kx)}2\,dx =\frac\pi2+\left[\frac{\sin(2kx)}{4k}\right]_0^\pi =\frac\pi2. \end{aligned}$$ $\displaystyle I_k=\int_0^\pi \sin x\cos(kx)\,dx$ とおく。$k$ が奇数なら $k+1,1-k$ は偶数であり、$k=1$ の場合の $1-k=0$ の項も積分は $0$ だから $I_k=0$。$k$ が偶数なら $k+1,1-k$ は奇数である。$m\ne0$ が奇数の整数のとき $\displaystyle \int_0^\pi\sin(mx)\,dx=2/m$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} I_k &=\frac12\left(\frac2{k+1}+\frac2{1-k}\right) =\frac1{k+1}+\frac1{1-k} =-\frac2{k^2-1}\quad(k\text{ は偶数}),\\ a_k &=\int_0^\pi\sin^2x\,dx+\int_0^\pi\cos^2(kx)\,dx-2I_k\\ &= \begin{cases} \pi &(k\text{ は奇数}),\\ \pi+\dfrac4{k^2-1}&(k\text{ は偶数}). \end{cases} \end{aligned}$$ $m=\lfloor n/2\rfloor$ とおくと、偶数 $k=2j$ の補正項だけが残り、 $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^n a_k &=n\pi+\sum\limits _{j=1}^{m}\frac4{(2j)^2-1}\\ &=n\pi+\sum\limits _{j=1}^{m}\left(\frac2{2j-1}-\frac2{2j+1}\right)\\ &=n\pi+2\left(1-\frac1{2m+1}\right) =n\pi+\frac{4m}{2m+1}. \end{aligned}$$ $n$ が偶数なら $2m=n$、奇数なら $2m=n-1$ を代入して上記の形を得る。 ここで $m=\lfloor n/2\rfloor$ は $n/2$ 以下の最大整数を表す。したがって和は、$n$ が偶数なら $n\pi+2n/(n+1)$、奇数なら $n\pi+2(n-1)/n$ である。