4北海道大学 2006年 数学 第4問解答・解説

整数 $r$ に対し $\displaystyle K_r=\int_0^{2\pi}\cos(rx)\,dx$ とおく。$r=0$ なら $K_0=2\pi$ であり、$r\ne0$ なら $\displaystyle K_r=\left[\frac{\sin(rx)}{r}\right]_0^{2\pi}=0$ である。加法定理から得られる積和公式を用いると、$\displaystyle I_{m,n}=\frac12(K_{m-n}+K_{m+n})$ となる。したがって $m=n=0$ では両項が $2\pi$、$m=n\ne0$ または $m=-n\ne0$ では一方だけが $2\pi$、その他では両項が $0$ となり、示した場合分けを得る。次に積を展開し、$j,k$ が正の整数であることから $I_{j,k}=\pi$（$j=k$ のとき）、$0$（$j\ne k$ のとき）を使うと、$\displaystyle J_n=\sum\limits _{j=1}^n\sum\limits _{k=1}^n\sqrt{jk}\,I_{j,k}=\pi\sum\limits _{k=1}^n k=\frac{\pi n(n+1)}{2}$ となる。

(1)の場合分けを明記すると、$I_{0,0}=2\pi$、$|m|=|n|>0$ のとき $I_{m,n}=\pi$、それ以外は $0$ です。