3北海道大学 2006年 数学 第3問解答・解説

(1) PからA,Bへ向かうベクトルは $\overrightarrow{PA}=(-a,1),\quad\overrightarrow{PB}=(-a,2)$。内積は $a^2+2$、長さはそれぞれ $\sqrt{a^2+1},\quad\sqrt{a^2+4}$ なので、 $\displaystyle \cos\theta=\frac{a^2+2}{\sqrt{(a^2+1)(a^2+4)}}$。

(2) $a>0$ だから $u=a^2>0$ とおく。内積も長さも正なので $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$ であり、θを最大にするには $\cos^2\theta$ を最小にすればよい。 $\displaystyle \cos^2\theta=\frac{(u+2)^2}{(u+1)(u+4)}$ と変形でき、恒等式 $\displaystyle \cos^2\theta-\frac89=\frac{(u-2)^2}{9(u+1)(u+4)}\geq0$ を得る。等号は $u=2$ のときに限る。よって $a^2=2$。aは正なので、θが最大になる値は $a=\sqrt2$ である（このとき $\displaystyle \cos\theta=\frac{2\sqrt2}{3}$）。