4神戸大学 2006年 数学 第4問解答・解説

(1) 辺QR上では $x=-1,\quad y=1$ だから $z=t$ との交点は $(-1,1,t)$。辺PRを $P+s(R-P)$ とおくと $(x,y,z)=(1-2s,1,2s)$。z=t から $\displaystyle s=\frac t2$ で、もう一つの交点は $(1-t,1,t)$。$0<t<2$ なので二点は異なり、これらが線分の両端である。

(2) 高さ z=t の断面にある線分上では $-1\le x\le1-t,\quad y=1$。回転後の半径は $\rho=\sqrt{x^2+1}$ である。 $0\le t\le1$ では x の範囲が0を含み、最小半径は$1,\quad\text{最大半径は }\sqrt2$。断面積は $\pi(2-1)=\pi$。 $1\le t\le2$ では x は負で、$t-1\le|x|\le1$。最小半径は $\sqrt{1+(t-1)^2}$、最大半径は $\sqrt2$。断面積は $\pi\{2-[1+(t-1)^2]\}=\pi[1-(t-1)^2]$。 従って体積は $\displaystyle \pi\int_0^1 1\,dt+\pi\int_1^2[1-(t-1)^2]\,dt=\pi+\pi\int_0^1(1-u^2)\,du=\pi+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$。