5神戸大学 2006年 数学 第5問解答・解説

(1) $\alpha$ の共役複素数を $\displaystyle \overline{\alpha}=\dfrac{3-\sqrt{7}i}{2}$ とすると、$$\displaystyle \alpha+\overline{\alpha}=3,\qquad \alpha\overline{\alpha}=\frac{3^2+7}{4}=4.$$ 実係数の二次方程式が $\alpha$ を解にもつとき、そのもう一つの解は $\overline{\alpha}$ である。したがって $$(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})=x^2-3x+4$$ より、$p=-3,\ q=4$。

(2) 方程式の左辺を $F(x)=x^3+ax^2+bx+c$、$g(x)=x^2-3x+4$ とおく。$F$ は実係数で $F(\alpha)=0$ だから、$F(\overline{\alpha})=0$ でもある。$F$ を $g$ で割った余りを $ux+v$（$u,v$ は実数）とすると、$u\alpha+v=0$ である。$\alpha$ は実数でないので、この等式の虚部から $u=0$、さらに $v=0$ となる。よって $g$ は $F$ を割り、ある実数 $r$ を用いて $$F(x)=(x^2-3x+4)(x-r)$$ と表せる。

$x^2-3x+4$ の判別式は $(-3)^2-4\cdot4=-7<0$ だから、この二次式は実数解をもたない。したがって $F$ の実数解は $r$ だけであり、条件は $0\le r\le1$ と同値である。

右辺を展開して係数を比較すると $$F(x)=x^3-(r+3)x^2+(3r+4)x-4r, \qquad a=-(r+3),\quad b=3r+4,\quad c=-4r.$$ $a$ が整数であることから $r=-a-3$ は整数である。$0\le r\le1$ より $r=0$ または $r=1$。それぞれを代入すると $$r=0:\ (a,b,c)=(-3,4,0),\qquad r=1:\ (a,b,c)=(-4,7,-4).$$ いずれも係数は整数で、実数解 $0$ または $1$ をもつ。以上より求める組はこの二組である。