3神戸大学 2006年 数学 第3問解答・解説

接点を $R(r,r^2)$ とし、接線の傾きを $k$ とする。この直線と放物線の交点の $x$ 座標は、$x^2-r^2=k(x-r)$ より $(x-r)(x+r-k)=0$ を満たす。接線では $x=r$ が重解となるから $k-r=r$、すなわち $k=2r$ である。したがって $R$ における接線は $y=2rx-r^2$ である。　 (1) 接点の $x$ 座標 $r$ に対し、接線が $P(p,q)$ を通る条件は $q=2pr-r^2$、すなわち $r^2-2pr+q=0$ である。この二次方程式の判別式は $4(p^2-q)>0$ なので、異なる2根 $a,b$ をもつ。解と係数の関係から $a+b=2p,\ ab=q$。　 (2) 傾き $m$ で $P$ を通る直線は $y-q=m(x-p)$ である。これと $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2-mx+(mp-q)=0$ の2根 $s,t$ である。よって解と係数の関係から $s+t=m,\ st=mp-q$。　 (3) $A=(a,a^2), B=(b,b^2)$ であり、(1)より $a+b=2p,\ ab=q$ だから、直線 $AB$ は $y=(a+b)x-ab=2px-q$ である。同様に、$S=(s,s^2), T=(t,t^2)$ と (2) から、直線 $ST$ は $y=(s+t)x-st=mx-mp+q$ である。したがって交点 $Q$ の $x$ 座標 $u$ は $(2p-m)u=2q-mp$ を満たし、$(2p-m)(p-u)=2(p^2-q)$ となる。　 $X=p-s,\ Y=p-t$ とおく。仮定 $s<u<t<p$ より $X,Y>0$ であり、(2)を用いると $X+Y=2p-m$、$XY=p^2-p(s+t)+st=p^2-q$ である。ゆえに $p-u=2XY/(X+Y)$。　 $P,S,T,Q$ はすべて傾き $m$ の同一直線上にあるので、点の $x$ 座標の差を $h$ とすると、その2点間の距離は $\sqrt{1+m^2}\,|h|$ である。$d=\sqrt{1+m^2}$ とおけば、仮定した順序から $\mathrm{PS}=dX,\ \mathrm{PT}=dY,\ \mathrm{PQ}=d(p-u)$。したがって $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{PS}}+\frac{1}{\mathrm{PT}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y})=\frac{X+Y}{dXY}=\frac{2}{d(p-u)}=\frac{2}{\mathrm{PQ}}$ となり、示された。