2神戸大学 2006年 数学 第2問解答・解説

(1) $$\displaystyle XA=\begin{pmatrix} \dfrac{x+\sqrt3 y}{2}&\dfrac{-\sqrt3 x+y}{2}\\[3pt] \dfrac{z+\sqrt3 w}{2}&\dfrac{-\sqrt3 z+w}{2} \end{pmatrix},\qquad AX=\begin{pmatrix} \dfrac{x-\sqrt3 z}{2}&\dfrac{y-\sqrt3 w}{2}\\[3pt] \dfrac{\sqrt3 x+z}{2}&\dfrac{\sqrt3 y+w}{2} \end{pmatrix}.$$ $XA=AX$ の左上成分を比べると $y=-z$、右上成分を比べると $x=w$ を得る。残る成分の等式もこの2条件と同値である。よって $$\boxed{x=w,\qquad y=-z}.$$

(2) $X^2=A$ と行列積の結合法則から $$XA=X(X^2)=X^3=(X^2)X=AX.$$ 従って示された。

(3) (2)より $X$ は $A$ と可換するので、(1)の条件から $$X=\begin{pmatrix}p&q\\-q&p\end{pmatrix}$$ とおける。二乗すると $$X^2=\begin{pmatrix}p^2-q^2&2pq\\-2pq&p^2-q^2\end{pmatrix}.$$ これが $A$ に等しいための条件は $$\displaystyle p^2-q^2=\frac12,\qquad 2pq=-\frac{\sqrt3}{2}.$$ このとき $$\displaystyle (p^2+q^2)^2=(p^2-q^2)^2+(2pq)^2=\frac14+\frac34=1.$$ $p^2+q^2\geq0$ なので $p^2+q^2=1$。和と差から $\displaystyle p^2=\frac34$, $\displaystyle q^2=\frac14$ を得る。また $\displaystyle pq=-\frac{\sqrt3}{4}<0$ より $p,q$ の符号は反対である。従って解は $$\displaystyle \boxed{ X=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac12\\[2pt]\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix} \quad\text{または}\quad X=\begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac12\\[2pt]-\dfrac12&-\dfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}}$$ の2つである。どちらも上の二乗の式に代入すると $X^2=A$ となる。