2岡山大学 2009年 数学 第2問解答・解説

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$ とする。

(1) $B\ne O$ だから、$B$ の非零列 $u=(x,y)^T$ を選べる。$AB=O$ より $Au=0$、すなわち $ax+by=0$、$cx+dy=0$。よって $$(ad-bc)x=d(ax+by)-b(cx+dy)=0,\qquad (ad-bc)y=a(cx+dy)-c(ax+by)=0.$$ $u\ne0$ なので $ad-bc=0$。問題文で使用を許された2×2行列の恒等式を $A$ に適用すると $$A^2=(a+d)A.$$ 同様に、$A\ne O$ からその非零列 $v$ を選び $BA=O$ を使うと $eh-fg=0$、よって $B^2=(e+h)B$。従って $\alpha=a+d$、$\beta=e+h$ とすればよい。

(2) $\alpha=\beta=1$ のとき $A^2=A$、$B^2=B$。$A$ の非零列を $p$、$B$ の非零列を $q$ とすると、$A^2=A$、$B^2=B$ から $Ap=p$、$Bq=q$。また $AB=BA=O$ から $Aq=0$、$Bp=0$。もし $q=tp$ なら $0=Aq=tAp=tp$ より $t=0$ となり、$q\ne0$ に反する。従って $p,q$ は比例せず、2×2行列 $[p\ q]$ は逆行列をもつ。したがって、任意の列 $z$ は一意に $z=xp+yq$ と書ける。すると $$(A+B)z=x(Ap+Bp)+y(Aq+Bq)=xp+yq=z.$$ これは任意の2成分列 $z$ で成り立つから、$A+B=E$。

相手行列の零ベクトルでない列に行列を掛けると零ベクトルになることを使い、成分計算でad−bc=0、eh−fg=0を示す。問題文の2×2恒等式からA²とB²をそれぞれAとBの実数倍で表す。さらに非零列を取り、比例しないことを示してA+Bの作用を確かめる。