3岡山大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) $D=1+x^2-x^4$ とおく。$x=0$ のとき級数の各項は $0$ なので収束する。$x\ne0$ のときは初項 $x^2$、公比 $1/D$ の等比級数であるから、収束条件は $|1/D|<1$、すなわち $|D|>1$ である。ここで $t=x^2\ (t\ge0)$ とおくと、 $$D>1\text{、すなわち } t-t^2>0\text{、すなわち } 0<t<1,\qquad D<-1\text{、すなわち } t^2-t-2>0\text{、すなわち } t>2.$$ したがって求める範囲は $x=0$、$0<|x|<1$、または $|x|>\sqrt{2}$ である。等号となる $D=1,-1$ では、$x\ne0$ の項がそれぞれ一定または交互に一定の大きさとなって $0$ に近づかず、収束しない。

(2) $x=0$ では級数の和は $0$ である。収束範囲内の $x\ne0$ では等比級数の和より $$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1-1/D}=\frac{x^2D}{D-1}=\frac{1+x^2-x^4}{1-x^2}.$$ いま $0<|x|<1$ とすると、$t=|x|$ は $0<t<1$ を満たし、$\sqrt{|x|}=\sqrt t$ は $0<\sqrt t<1$ なので (1) の収束範囲に入る。したがって $$\displaystyle h(x)=f(\sqrt t)-t=\frac{1+t-t^2}{1-t}-t=\frac{1}{1-t}=\frac{1}{1-|x|}.$$ よって $\displaystyle\lim\limits _{x\to0}h(x)=1$、すなわち $a=1$ である。

(3) $x\ne0$ が十分 $0$ に近いとき、(2) より $$\displaystyle \frac{h(x)-a}{x}=\frac{|x|}{x(1-|x|)}.$$ $x>0$ から近づけると極限は $1$、$x<0$ から近づけると極限は $-1$ である。左右の極限が異なるから、両側極限は存在しない。 なお $D=0$ では級数の項が定義されず、上の収束範囲には含まれない。