1岡山大学 2009年 数学 第1問解答・解説

（1）さいころを振った回数を $m$、順に出た目を $k_1,\ldots,k_m$ とする。回転角の合計が $\pi/2$ となる条件は $$\displaystyle \frac1{k_1}+\cdots+\frac1{k_m}=\frac12$$ である。各 $k_i\leq 6$ だから各項は $1/6$ 以上であり、$m\geq4$ なら左辺は少なくとも $2/3$ となる。よって $m\leq3$。

$m=1$ のときは $k_1=2$。$m=2$ では目を小さい順に $a\leq b$ とする。$a=1,2$ は不可能であり、$a=3$ なら $b=6$、$a=4$ なら $b=4$ となる。$a=5$ では $1/b=3/10$ となって整数の $b$ がなく、$a=6$ では必要な $b=3$ が $b\geq a$ に反する。したがって目の組は $(3,6),(4,4)$ である。

$m=3$ では $a\leq b\leq c$ とする。$a=2$ では残りの項が正なので不可能であり、$a=3$ では残り二項の和が $1/6$ である一方、各項が $1/6$ 以上なので不可能である。$a=4$ のとき $b=4,5,6$ を調べると、それぞれ残る $1/c$ は $0,1/20,1/12$ で、いずれも条件を満たす $c\leq6$ がない。$a=5$ のときは $b=5,6$ で、それぞれ $c=10,15/2$ となるため不可能。$a=6$ なら $b=c=6$ で条件を満たす。以上から、出た順に列挙すると $$(2),\quad (3,6),(6,3),\quad (4,4),\quad (6,6,6)$$ である。

（2）4回の目を $k_1,k_2,k_3,k_4$ とすると、$P_4=P_0$ となる条件は $$\displaystyle \frac1{k_1}+\frac1{k_2}+\frac1{k_3}+\frac1{k_4}=2\quad\text{または}\quad4$$ である。左辺は $2/3$ 以上 $4$ 以下であり、正の回転角の和が $2\pi$ の整数倍となるためである。和が $4$ となるのは全て1の目の場合だけなので、1通り。

和が $2$ の場合、1の目がなければ各項は $1/2$ 以下であるから、4項の和が2となるのは全て2の目の場合だけで、1通り。1の目がちょうど1つある場合、残り3項の逆数の和は1である。残りの目を小さい順に $a\leq b\leq c$ とすると、$a=2$ では $$\displaystyle \frac1b+\frac1c=\frac12$$ より $(b,c)=(3,6),(4,4)$。$a=3$ では $b=c=3$ が唯一の可能性であり、$a\geq4$ では和が最大でも $3/4$ なので不可能である。よって残り3項の目の組は $(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)$。それぞれの並べ方は $6,3,1$ 通り、合計10通りである。1の目を置く位置が4通りあるから40通り。したがって、求める総数は $$1+1+4\times10=42$$ 通りである。

（3）半径1の円上で、$P_1P_2$ に対する中心角は $\pi/3$ である。弦 $P_1P_2$ の長さは $2\sin(\pi/6)=1$。この弦の中点へ向かう半径を $x$ 軸にとると、弦を含む直線は $x=\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$ となる。$P_3$ のこの座標は $\cos(\pi/6+\pi/k)$ だから、三角形の高さは $$\displaystyle d_k=\left|\cos\left(\frac\pi6+\frac\pi k\right)-\frac{\sqrt3}{2}\right|$$ である。$k=1$ なら $\cos(7\pi/6)=-\sqrt3/2$ より $d_1=\sqrt3$。一方、$2\leq k\leq6$ なら $\theta=\pi/6+\pi/k$ とおくと $\pi/3\le\theta\le2\pi/3$ であり、$-1/2\le\cos\theta\le1/2$ となる。したがって $$\displaystyle d_k\leq\frac{\sqrt3}{2}+\frac12<\sqrt3=d_1.$$ よって高さ、したがって面積が最大となるのは3回目が1の目のときであり、最大面積は $\displaystyle \dfrac12\cdot1\cdot\sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{2}$ である。

回転角を$\pi$で割った逆数和に直し、(1)は回数を3回以下に絞って目の組を場合分けで列挙する。(2)は戻る条件が逆数和2または4であることを用い、目の組と順列数を数える。(3)は$P_1P_2$を底辺として、第三点から弦を含む直線までの高さを出目ごとに比較する。詳細な式変形と場合分けは採用解説本文（adopted_solution_latex）に含めた。