4岡山大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(0)=-2e\ne 0$ なので，$x=0$ は共有点の $x$ 座標ではない。$x\ne0$ に対して共有点の条件は $$\displaystyle a=g(x):=\frac{f(x)}x=2\left(1-\frac1x\right)e^{1-x/2}$$ である。微分すると $$\displaystyle g'(x)=-\frac{(x-2)(x+1)}{x^2}e^{1-x/2}.$$ $x<0$ では $g$ は $x<-1$ で減少し，$-1<x<0$ で増加する。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}g(x)=\lim\limits _{x\to0-}g(x)=+\infty,\qquad g(-1)=4e^{3/2}.$$ したがって，負の解は $a<4e^{3/2}$ で0個，$a=4e^{3/2}$ で1個，$a>4e^{3/2}$ で2個である。

$x>0$ では $g$ は $0<x<2$ で増加し，$x>2$ で減少する。さらに $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}g(x)=-\infty,\quad g(1)=0,\quad g(2)=1,\quad \lim\limits _{x\to\infty}g(x)=0+.$$ よって正の解の個数は，$a\le0$ のとき1個，$0<a<1$ のとき2個，$a=1$ のとき1個，$a>1$ のとき0個である。以上を合わせると，共有点がちょうど2個となるのは $$\boxed{0<a<1\quad\text{または}\quad a>4e^{3/2}}$$ である。

(2) 曲線が第1象限にあるのは $x>1$ のときである。原点を通る直線との接点では $g'(x)=0$ となる。$g'(x)=0$ の解は $x=-1,2$ であり，第1象限の接点は $x=2$ に限る。このとき $a=g(2)=1$，接点は $(2,2)$ で，直線は $y=x$ である。$1<x<2$ では $0<g(x)<1$ より $0<f(x)<x$ だから，求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^1x\,dx+\int_1^2\left\{x-2(x-1)e^{1-x/2}\right\}dx\\ &=2-\left[-4(x+1)e^{1-x/2}\right]_1^2\\ &=2-(8\sqrt e-12)=\boxed{14-8\sqrt e}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \frac{d}{dx}\{-4(x+1)e^{1-x/2}\}=2(x-1)e^{1-x/2}$ を用いた。

$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}x$ の増減を負・正の領域で分け、端点極限と極値から共有点数を数える。第1象限の接点は $x=2$、$a=1$。領域を $x=1$ で分けて積分すると $14-8\sqrt e$。