III慶應義塾大学 2007年 数学 第III問解答・解説

$\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ で $y=\sin x$ とおくと，$dy=\cos x\,dx$ であり， $$\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\sin^2x}-a\cos x =\cos x\left(\frac{2y}{1+y^2}-a\right)$$ となる。ここで $\cos x\geq0$ だから，絶対値の中の式を絶対値に入れたまま置換できる。端点は $x=0$ で $y=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ で $y=1$ なので， $$\displaystyle c=1,\qquad g(y)=\frac{2y}{1+y^2}\quad(0\leq y\leq1)$$ である。また $$\displaystyle g'(y)=\frac{2(1-y^2)}{(1+y^2)^2}\geq0$$ であり，$g$ は $0\leq y\leq1$ で増加し，$g(0)=0,\ g(1)=1$ である。原始関数は $\ln(1+y^2)$ である。

$a\leq0$ なら $g(y)-a\geq0$ だから $$\displaystyle f(a)=\int_0^1(g(y)-a)\,dy=\ln2-a.$$ $a\geq1$ なら $g(y)-a\leq0$ だから $$\displaystyle f(a)=\int_0^1(a-g(y))\,dy=a-\ln2.$$

$0<a<1$ のときは，増加性より $g(\alpha)=a$ を満たす $\alpha$ が $0<\alpha<1$ の範囲にただ一つ存在する。方程式 $$a\alpha^2-2\alpha+a=0$$ の $0<\alpha<1$ の解は $$\displaystyle \alpha=\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a}=\frac{a}{1+\sqrt{1-a^2}}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} f(a)&=\int_0^\alpha(a-g(y))\,dy+\int_\alpha^1(g(y)-a)\,dy\\ &=\ln2-2\ln(1+\alpha^2)-a+2a\alpha\\ &=2\left(1-\sqrt{1-a^2}\right)-a+\ln\frac{\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)^2}{2}. \end{aligned}$$ 最後の等号では $\displaystyle 1+\alpha^2=\frac{2}{1+\sqrt{1-a^2}}$，$2a\alpha=2(1-\sqrt{1-a^2})$ を用いた。

この式を $a$ で微分すると，$\displaystyle a=\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}$ より $$\displaystyle \begin{aligned} f'(a)&=2\alpha-1+\alpha'\left(2a-\frac{4\alpha}{1+\alpha^2}\right)\\ &=2\alpha-1. \end{aligned}$$ $\alpha$ は $a$ とともに増加し，$\displaystyle \alpha=\frac12$ となるのは $\displaystyle a=g(\frac12)=\frac45$ のときである。よって $\displaystyle 0<a<\frac45$ では $f'(a)<0$，$\displaystyle \frac45<a<1$ では $f'(a)>0$ である。さらに $a\leq0$ では傾き $-1$，$a\geq1$ では傾き $1$ だから，全体でも $\displaystyle a=\frac45$ で最小となる。その値は $$\displaystyle f\left(\frac45\right)=\ln2-2\ln\frac54=\ln\frac{32}{25}.$$ なお $a=0,1$ では隣り合う場合の式の値がそれぞれ一致する。