4昭和大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)=x(1-x^2)e^{x^2}$を微分すると $$f'(x)=\{(1-3x^2)+2x^2(1-x^2)\}e^{x^2} =(1+x^2)(1-2x^2)e^{x^2}.$$ $e^{x^2}>0$，$1+x^2>0$だから，$f'(x)$の符号は$1-2x^2$の符号と同じである。したがって，$\displaystyle x=-\frac1{\sqrt2}$の前後では$f'(x)$が負から正に変わるので，この点で極小値をとる。その値は $$\displaystyle f\left(-\frac1{\sqrt2}\right) =-\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac12\right)e^{1/2} =-\frac{\sqrt e}{2\sqrt2}.$$

(2) $f(x)=0$となるのは$x=-1,0,1$であり，符号は$-1<x<0$で負，$0<x<1$で正である。これより，グラフと$x$軸で囲まれる有界部分は$-1\leq x\leq0$と$0\leq x\leq1$の範囲にある2つである。また$f$は奇関数なので，面積の総和は $$\displaystyle 2\int_0^1x(1-x^2)e^{x^2}\,dx.$$ $u=x^2$と置換すると $$\displaystyle 2\int_0^1x(1-x^2)e^{x^2}\,dx =\int_0^1(1-u)e^u\,du.$$ ここで $$\displaystyle \frac{d}{du}\left\{(2-u)e^u\right\}=(1-u)e^u$$ だから $$\displaystyle \int_0^1(1-u)e^u\,du =\left[(2-u)e^u\right]_0^1 =e-2.$$