2昭和大学 2013年 数学 第2問解答・解説

まず，$C_1$上の点$(s,s^2)$を通る傾き$m$の直線を$y=m(x-s)+s^2$とおく。この直線と$C_1$の交点の$x$座標は$x^2-mx+ms-s^2=0$を満たす。接するとき$x=s$は重解なので，解の和から$m=2s$となり，接線は$y=2sx-s^2$である。

次に，$C_2$上の点$(t^2,t)$（$t\ne0$）を通る傾き$m$の直線を$y=m(x-t^2)+t$とおく。$x=t^2+h$とすると，$y^2=x$は $$m^2h^2+(2tm-1)h=0$$ となる。接するとき$h=0$は重解だから$\displaystyle m=\frac1{2t}$，よって接線は$\displaystyle y=\frac{x}{2t}+\frac{t}{2}$，すなわち $$L_t:\ x-2ty+t^2=0$$ である。$t=0$では原点における接線は$x=0$となり，この式にも含まれる。

(1) 共通接線は垂直ではないので，$t\ne0$である。$C_1$上の点$(s,s^2)$における接線と$L_t$の傾き，切片を比較すると $$\displaystyle 2s=\frac1{2t},\qquad -s^2=\frac t2.$$ 前式から$\displaystyle s=\frac1{4t}$である。これを後式に代入すると$\displaystyle t^3=-\frac18$より$\displaystyle t=-\frac12$，$\displaystyle s=-\frac12$を得る。したがって共通接線は $$\displaystyle y=-x-\frac14$$ である。

(2) $P(p,p^2)$を通る$C_2$の接線$L_t$は $$p-2tp^2+t^2=0, \quad\text{すなわち}\quad t^2-2p^2t+p=0$$ を満たす。この二次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は $$\Delta=4p^4-4p=4p(p^3-1)>0.$$ $p^3-1=(p-1)(p^2+p+1)$であり$p^2+p+1>0$だから，これは$p<0$または$p>1$と同値である。よって求める範囲は $$p<0\quad\text{または}\quad p>1$$ である。

(3) (2)の範囲では$p\ne0$である。接線$L_t$と$C_1$の交点の$x$座標は $$x-2tx^2+t^2=0$$ の解であり，その2解の積は$\displaystyle -\frac t2$である。一方の解が$p$なので，他方を$q$とすると$\displaystyle q=-\frac{t}{2p}$となる。この交点が$P$と異なる条件は$q\ne p$，すなわち$t\ne-2p^2$である。$t=-2p^2$を(2)の方程式に代入すると $$p(8p^3+1)=0.$$ (2)の範囲では$p\ne0$なので，この条件を満たすのは$\displaystyle p=-\frac12$だけである。このとき$\displaystyle t=-\frac12$は実際に接線の解で，その直線は$C_1$と$P$で接するため，条件から除く。したがって求める範囲は $$\displaystyle p< -\frac12,\qquad -\frac12<p<0,\qquad p>1$$ のいずれかである。

(4) $Q_1,Q_2$を結ぶ直線は，傾き$m=q_1+q_2$，切片$c=-q_1q_2$をもつ。一般に直線$y=mx+c$（$m\ne0$）と$C_2$の交点は $$m^2x^2+(2mc-1)x+c^2=0$$ の解であり，接する条件は判別式が0となること，すなわち$4mc=1$である。$m=0$のときもこの条件は成り立たず，水平線は$C_2$に接しない。よって$Q_1Q_2$が$C_2$に接する条件は $$4(q_1+q_2)(-q_1q_2)=1, \quad\text{すなわち}\quad 4q_1q_2(q_1+q_2)+1=0$$ である。

(5) 2本の接線のパラメータを$t_1,t_2$とする。(2)の二次方程式の2解だから $$t_1+t_2=2p^2,\qquad t_1t_2=p.$$ 各接線と$C_1$のもう一つの交点の$x$座標を$q_i$とすると，(3)より$\displaystyle q_i=-\frac{t_i}{2p}$である。したがって$q_1\ne q_2$であり， $$\displaystyle q_1+q_2=-\frac{t_1+t_2}{2p}=-p, \qquad q_1q_2=\frac{t_1t_2}{4p^2}=\frac1{4p}.$$ ゆえに $$\displaystyle 4q_1q_2(q_1+q_2)+1 =4\cdot\frac1{4p}\cdot(-p)+1=0.$$ (4)の条件が成り立つので，直線$Q_1Q_2$は$C_2$に接する。