4熊本大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$a>0$ である。積の微分法と合成関数の微分法より、 $$\displaystyle f'(x)=2xe^{-x/a}-\frac{x^2}{a}e^{-x/a}=\frac{1}{a}xe^{-x/a}(2a-x)$$ となる。ここで $e^{-x/a}>0$、$a>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $x(2a-x)$ の符号と一致する。したがって、$x<0$ では負、$0<x<2a$ では正、$x>2a$ では負である。よって $x=0$ では極小、$x=2a$ では極大となるから、 $$c=2a.$$ 次に、$\displaystyle t=\frac{x}{a}$ とおくと、$x=at$、$dx=a\,dt$ であり、積分区間は $0\leq t\leq 2$ となる。したがって、 $$\displaystyle \int_0^c f(x)\,dx=a^3\int_0^2 t^2e^{-t}\,dt.$$ 部分積分を2回用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^2t^2e^{-t}\,dt&=\left[-t^2e^{-t}\right]_0^2+2\int_0^2te^{-t}\,dt\\ &=-\frac{4}{e^2}+2\left(\left[-te^{-t}\right]_0^2+\int_0^2e^{-t}\,dt\right)\\ &=-\frac{4}{e^2}+2\left(-\frac{2}{e^2}+1-\frac{1}{e^2}\right)\\ &=2-\frac{10}{e^2}. \end{aligned}$$ よって、 $$\displaystyle \int_0^c f(x)\,dx=a^3\left(2-\frac{10}{e^2}\right).$$