1熊本大学 2002年 数学 第1問解答・解説

さいころの出目は各回独立で、1から6までの6通りが同様に確からしいので、n回の出方は全部で$6^n$通りある。

出目が1でない回がk回あるとする。そのk個の出目の積は9以下でなければならない。k$\ge$ 4なら積は少なくとも$2^4=16$となるから、kは0,1,2,3のいずれかである。

k=0のとき、該当する出方は1通りである。k=1のとき、1でない出目は2,3,4,5,6のいずれでもよく、位置も選ぶので$\displaystyle 5\binom{n}{1}$通りである。k=2のとき、選んだ2つの位置に入る出目の組は(2,2),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,3)の6通りであるから、$\displaystyle 6\binom{n}{2}$通りである。k=3のときは(2,2,2)だけなので$\displaystyle \binom{n}{3}$通りである。

したがって条件を満たす出方は $$\displaystyle 1+5\binom{n}{1}+6\binom{n}{2}+\binom{n}{3}$$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{1+5n+6\binom{n}{2}+\binom{n}{3}}{6^n}$$ である。これを整理すると $$\displaystyle P(a_n\le 9)=\frac{n^3+15n^2+14n+6}{6^{n+1}}\qquad(n\ge1)$$ を得る。例えば$n=1$では$1$、$n=2$では$\displaystyle \frac{17}{36}$となり、いずれも直接数えた結果と一致する。なお$n<k$では$\displaystyle \binom{n}{k}=0$とする。