2熊本大学 2002年 数学 第2問解答・解説

直線 $\ell_1$ と $\ell_2$ の交点および $\ell_1$ と $x$ 軸の交点は $$\displaystyle S=\left(\frac{a+1}{2},a\right),\qquad T=\left(\frac12,0\right)$$ である。$p<a$、$a>1$ より、$P,A$ はともに水平線 $y=a$ より下にある。

まず $QS$ が左向きだと仮定する。下向きの $QP$ が左向きの $QS$ となす角が $135^\circ$ なら $QP$ は右下向きなので $q<0$ となる。一方、下向きの $QA$ が $QS$ となす角が $45^\circ$ なら $QA$ は左下向きなので $q>1$ となる。矛盾だから $QS$ は右向きである。このとき $QP$ は左下向き、$QA$ は右下向きであり、$45^\circ$ の傾きから $$a-p=q,\qquad a-1=1-q.$$ 従って $$\boxed{p=2a-2},\qquad \boxed{q=2-a}.$$ $q>0$ と $a>1$ より $1<a<2$ で、この範囲では元の点の位置条件も満たす。

(2) $\theta=\arctan 2$ とおくと $45^\circ<\theta<90^\circ$ である。$\overrightarrow{AQ}=(1-a,a-1)$ は左上向きで方向角 $135^\circ$、$\overrightarrow{AS}=((a-1)/2,a-1)$ は右上向きで方向角 $\theta$ だから $$\angle QAS=135^\circ-\theta$$ は鋭角であり、 $$\displaystyle \tan\angle QAS=\tan(135^\circ-\theta)=\frac{-1-2}{1-2}=3.$$

また $0<p<2$ なので $-45^\circ<\arctan(p-1)<45^\circ$ である。$\overrightarrow{AP}=(-1,p-1)$ の方向角は $180^\circ-\arctan(p-1)$、$\overrightarrow{AT}=(-1/2,-1)$ の方向角は $180^\circ+\theta$。従って $$\angle PAT=\theta+\arctan(p-1).$$ 条件 $\angle PAT=\angle QAS$ から $$\arctan(p-1)=135^\circ-2\theta.$$ 右辺も $-45^\circ<135^\circ-2\theta<45^\circ$ を満たすため、正接をとって同値に解ける。$\tan\theta=2$ より $\tan 2\theta=-4/3$ なので $$\displaystyle p-1=\tan(135^\circ-2\theta) =\frac{-1-(-4/3)}{1+(-1)(-4/3)}=\frac17.$$ よって $p=8/7$、さらに $p=2a-2$ から $$\displaystyle \boxed{a=\frac{11}{7}},\qquad \boxed{p=\frac87}.$$ このとき $q=2-a=3/7$ であり、$1<a<2$ および $0<p<a$ を満たす。