2長崎大学 2002年 数学 第2問解答・解説

点検済み解説

(1) $\displaystyle \ell_2:\quad y=\frac{mx}{\sqrt{1+m^2}+1}$. (2) $\displaystyle P=\left(c(1+\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}),\frac{cm}{\sqrt{1+m^2}}\right),\quad CP=c$. (3) $\displaystyle \frac{\pi c}{12}$.

$\alpha=\arctan m$ ($\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2$)とおくと、$\angle ACB=\alpha$。半角公式から原点を通る二等分線の傾きは$\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}+1}$。

交点を解くため$q=\sqrt{1+m^2}$とすると、$\displaystyle P=\left(c(1+\frac1q),\frac{cm}{q}\right)$。したがって$\displaystyle CP^2=\left(\frac cq\right)^2+\left(\frac{cm}{q}\right)^2=c^2$で$CP=c$。

さらに$P=\left(c(1+\cos\alpha),c\sin\alpha\right)$だから、Pは中心$(c,0)$、半径cの円上を動く。$m=1\text{から}\sqrt3$で$\displaystyle \alpha\text{は}\frac\pi4\text{から}\frac\pi3$まで動き、弧長は$\displaystyle c(\frac\pi3-\frac\pi4)=\frac{\pi c}{12}$。