1長崎大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $x>0$ では $x$ が正なので、$f(x)>0$ は $x^2-5x+m>0$ と同値である。 $$\displaystyle x^2-5x+m=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+m-\frac{25}{4}.$$ 平方完成した式の最小値は $\displaystyle x=\frac{5}{2}>0$ のときにとられる。したがって、すべての $x>0$ で $f(x)>0$ となる条件は $\displaystyle m-\frac{25}{4}>0$、すなわち $\displaystyle m>\frac{25}{4}$ である。$m$ は整数だから $m\ge 7$。

$m=7$ とすると $$f'(x)=3x^2-10x+7=(3x-7)(x-1).$$ $x>0$ において、$f'(x)$ は $0<x<1$ で正、$\displaystyle 1<x<\frac{7}{3}$ で負、$\displaystyle x>\frac{7}{3}$ で正である。よって $x=1$ で極大値、$\displaystyle x=\frac{7}{3}$ で極小値をもつ。また $m=7$ は (i) を満たすので、求める最小の整数は $\boxed{7}$ である。

(2) $m=7$ のとき $f'(x)=(3x-7)(x-1)$ であり、$\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le3$ の範囲では $\displaystyle x=1,\frac{7}{3}$ で符号が変わる。各点での値は $$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{19}{8},\quad f(1)=3,\quad f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{49}{27},\quad f(3)=3.$$ したがって増減表は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc} x&\frac{1}{2}&&1&&\frac{7}{3}&&3\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline f(x)&\frac{19}{8}&\nearrow&3&\searrow&\frac{49}{27}&\nearrow&3 \end{array}$$ となる。

(3) (1) より $x>0$ で $f(x)>0$ だから、与えられた区間で $\log_a f(x)$ は定義される。(2) の増減表から、区間内で $f(x)$ の最大値は $3$、最小値は $\displaystyle \frac{49}{27}$ である。$a>1$ なら $y=\log_a t$ は $t>0$ で増加するので、$f(x)=3$ のとき最大となり、最大値は $\log_a 3$ である。$0<a<1$ なら $y=\log_a t$ は減少するので、$\displaystyle f(x)=\frac{49}{27}$ のとき最大となり、最大値は $\displaystyle \log_a\frac{49}{27}$ である。