3産業医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

点$P$は中心$F(f,0)$から角$\theta_1$、距離$a$の位置にあり、点$S$は$P$から角$\theta_2$、距離$b$だけ進んだ位置にある。従って $$(x_1,y_1)=(f+a\cos\theta_1,\ a\sin\theta_1),$$ $$(x_2,y_2)=(f+a\cos\theta_1+b\cos\theta_2,\ a\sin\theta_1+b\sin\theta_2).$$ $\theta_1$が$2\pi$増えると$P$が1周するから $$\displaystyle T_{\mathrm P}=\frac{2\pi}{\omega_1}.$$

図2からチ、ツを求める。 $T_{\mathrm P}=1$より$\omega_1=2\pi$。$t=0$で$A=7$。図2では$B=6$であり、$S=(7+\cos\phi,\sin\phi)$だから $$36=|OS|^2=50+14\cos\phi,$$ 従って$\cos\phi=-1$、$0\leq\phi<2\pi$より$\phi=\pi$。また図2では$t=1$に$B=8$である。このとき$P=(7,0)$で、距離8は$PS$が正のx方向を向く場合なので$\omega_2+\phi\equiv0\pmod{2\pi}$。従って$\omega_2$は$\pi$の奇数倍である。図2の破線の山谷の位置は$\omega_2/\omega_1=5/2$の場合と一致する（例えば$t\simeq0.17$の最初の極大と$t\simeq0.43$の極小）。よって$\omega_2=5\pi$、すなわち$\text{チ}=5\pi,\ \text{ツ}=\pi$。

半径$a-b$、$a+b$の円。 $S-F$は長さ$a$のベクトル$(a\cos\theta_1,a\sin\theta_1)$と長さ$b$のベクトル$(b\cos\theta_2,b\sin\theta_2)$の和である。$\theta_2=\theta_1+\pi$、すなわち$\omega_2=\omega_1,\ \phi=\pi$なら$S-F=((a-b)\cos\theta_1,(a-b)\sin\theta_1)$となる。従って$\text{テ}=1,\ \text{ト}=\pi$。同様に$\theta_2=\theta_1$、すなわち$\omega_2=\omega_1,\ \phi=0$なら半径$a+b$の円となるので$\text{ナ}=1,\ \text{ニ}=0$。

ヌ、ネの条件。 ここでは直前の$a>b$を用いる。$S=(f-a-b,0)$となるには、長さ$a,b$の二つのベクトル$FP,PS$がともに左向きでなければならないので、$\theta_1\equiv\theta_2\equiv\pi\pmod{2\pi}$である。$S=(f+a-b,0)$では、合成ベクトルの長さが最小値$a-b$となり、向きは正の$x$方向だから、$\theta_1\equiv0,\ \theta_2\equiv\pi\pmod{2\pi}$である。特に$t=0$で右側の点を通るため$\phi=\pi$が必要である。

$P$が1周する間に$\theta_1=\pi$となる時刻は$t=T_{\mathrm P}/2=\pi/\omega_1$である。このとき左側の点を通るには$\theta_2\equiv\pi$でなければならないから $$\displaystyle \omega_2\frac{\pi}{\omega_1}+\pi\equiv\pi\pmod{2\pi},\qquad \frac{\omega_2}{\omega_1}=2m\quad(m\text{ は整数}).$$ 逆に$\phi=\pi$かつ$\omega_2/\omega_1=2m$なら、$t=0$で右側の点、$t=T_{\mathrm P}/2$で左側の点を通る。よってこれは必要十分条件である。偶整数全体は、正の自然数$k$と符号$\pm$を使って$\pm2(k-1)$（$k=1,2,3,\ldots$）と表せる。$k=1$は$\omega_2=0$を含む。従って$\text{ヌ}=\pm2(k-1)\omega_1,\ \text{ネ}=\pi$である。

ノ、ハの条件。 $t=0$で$S=(f+a-b,0)$だから$\theta_1=0,\ \theta_2=\phi=\pi$である。1周期後に$S=(f+a+b,0)$となるには$\theta_2\equiv0\pmod{2\pi}$でなければならず、 $$\displaystyle \omega_2T_{\mathrm P}+\pi\equiv0\pmod{2\pi},\qquad \frac{\omega_2}{\omega_1}=m+\frac12\quad(m\text{ は整数}).$$ この条件なら2周期後に$\theta_2\equiv\pi$となり、以後も各周期で二つの位置を交互にとる。逆に交互にとるなら1周期後に右側の最大点を通るため上の合同式が必要である。全ての半奇整数は$\pm(2k-1)/2$（$k=1,2,3,\ldots$）と表せるから、$\displaystyle \text{ノ}=\pm\frac{2k-1}{2}\omega_1,\ \text{ハ}=\pi$である。

蝕の回数。 $a>b$のとき、$S$が線分$FP$の内部にあるためには$PS$が$FP$と反対向きである必要十分条件、$\theta_2-\theta_1\equiv\pi\pmod{2\pi}$が成り立つ。$\omega_2=z\omega_1$では相対角$\theta_2-\theta_1$が1周期に$2\pi(z-1)$増えるので、蝕は$z-1$回。$\omega_2=-z\omega_1$では相対角が$2\pi(z+1)$だけ減るので、蝕は$z+1$回である。周期の同じ端点は一度だけ数える。

検算として、チ・ツの値を座標式へ入れると、t=0では$S=(6,0)$、t=1では$S=(8,0)$となり図2の距離と一致する。半径条件では$S-F$の二つのベクトルが常に同方向または反対方向となる。蝕の回数はPの1周期中の相対角の回転数$|\omega_2/\omega_1-1|$に一致する。