1徳島大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \beta=\frac{\pi}{6}$ とする。座標軸を回転し、$A=(1,0)$ と置く。$\displaystyle \angle AOC=\alpha+\beta=\frac{5\pi}{12}$ だから、 $$\displaystyle C=\left(\cos\frac{5\pi}{12},\sin\frac{5\pi}{12}\right).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} |\overrightarrow{AC}|^2 &=\left(\cos\frac{5\pi}{12}-1\right)^2+\sin^2\frac{5\pi}{12}\\ &=2-2\cos\frac{5\pi}{12} =2-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2} =\frac{4+\sqrt2-\sqrt6}{2}. \end{aligned}$$

(2) $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{3}$ かつ $\beta>0$ より $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}$ である。この範囲では $\cos\alpha>0$。条件 $\sqrt2\sin\alpha=\cos\alpha$ と $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ から $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt6}{3},\qquad \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt3}.$$ $A=(1,0)$ とすれば $B=(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$\displaystyle C=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{AC} &=(\cos\alpha,\sin\alpha)\cdot\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)\\ &=-\frac{\sqrt6}{6}+\frac12 =\frac{3-\sqrt6}{6}. \end{aligned}$$

(3) $\alpha+\beta=\pi$、$\alpha,\beta>0$ より $0<\alpha<\pi$。$A=(1,0)$、$C=(-1,0)$、$B=(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$P=(x,y)$ と置く。このとき $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=-1$ であり、左辺は $$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC} =\cos\alpha-1-(1+\cos\alpha)x-\sin\alpha\,y+2(x^2+y^2).$$ 従って条件式は $$2(x^2+y^2)-(1+\cos\alpha)x-\sin\alpha\,y+\cos\alpha=0.$$ 平方完成すると $$\displaystyle \left(x-\frac{1+\cos\alpha}{4}\right)^2+\left(y-\frac{\sin\alpha}{4}\right)^2 =\frac{1-3\cos\alpha}{8}.$$ 左辺は中心 $\displaystyle \left(\frac{1+\cos\alpha}{4},\frac{\sin\alpha}{4}\right)$ からの距離の二乗である。右辺が負なら点Pはなく、正なら円周上に無数の点Pがあり、0なら中心の1点だけである。したがって条件は $\displaystyle \cos\alpha=\frac13$。さらに $0<\alpha<\pi$ だから、$\displaystyle \alpha=\arccos\frac13$ である。