3徳島大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $x=k\quad(k=0,1,\ldots,n)$ に対し、条件を満たす整数 $y$ は $0\le y\le k^3$ を満たすので $k^3+1$ 個である。したがって $$\displaystyle L_n=\sum\limits _{k=0}^n(k^3+1)=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+n+1=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+n+1.$$

(2)　 このとき領域の面積は $$\displaystyle S_n=\int_0^n x^3\,dx=\frac{n^4}{4}.$$ よって $$\displaystyle \frac{L_n}{S_n}=\frac{n^2(n+1)^2/4+n+1}{n^4/4}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2+\frac{4(n+1)}{n^4}\longrightarrow 1.$$

(3)　 $f(x)=xe^x$ のとき、部分積分により $$\displaystyle S_n=\int_0^n xe^x\,dx=[xe^x]_0^n-\int_0^n e^x\,dx=ne^n-(e^n-1)=(n-1)e^n+1.$$ $\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=0}^n ke^k$ とおく。添字をずらすと $$\displaystyle (e-1)T_n=eT_n-T_n=ne^{n+1}-\sum\limits _{j=1}^n e^j=ne^{n+1}-\frac{e^{n+1}-e}{e-1},$$ したがって $$\displaystyle T_n=\frac{e^{n+1}\{n(e-1)-1\}+e}{(e-1)^2}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{T_n}{ne^n}=\frac{e}{e-1}-\frac{e}{n(e-1)^2}+\frac{e}{ne^n(e-1)^2}\longrightarrow\frac{e}{e-1},\qquad \frac{S_n}{ne^n}=\frac{n-1}{n}+\frac{1}{ne^n}\longrightarrow1,$$ より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{1}{S_n}\sum\limits _{k=0}^n ke^k=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{T_n/(ne^n)}{S_n/(ne^n)}=\frac{e}{e-1}.$$ 整数 $x=k$ に対する格子点数は $\lfloor ke^k\rfloor+1$ 個であるから $$\displaystyle L_n=\sum\limits _{k=0}^n(\lfloor ke^k\rfloor+1),\qquad 0\le L_n-T_n\le n+1.$$ $n\ge2$ では$S_n=(n-1)e^n+1\ge(n-1)e^n$ かつ$(n+1)/(n-1)\le3$ なので $$\displaystyle 0\le\frac{L_n-T_n}{S_n}\le\frac{n+1}{(n-1)e^n}\le\frac3{e^n}\longrightarrow0.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{L_n}{S_n} =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{T_n}{S_n} =\frac{e}{e-1}.$$。