4徳島大学 2024年 数学 第4問解答・解説

1回の試行で，3の倍数がちょうど $k$ 回続いた後に3の倍数でない目 $a\text{（1,2,4,5のいずれか）}$ が出て終了する場合は $k=0,1,2,3$ である。4回連続して3の倍数が出て終了する場合もある。1回の試行の和を $X$ とし，その確率母関数を $G(x)$ とすると， $$\displaystyle G(x)=\sum\limits _{k=0}^{3}\left(\frac{x^3+x^6}{6}\right)^k\frac{x+x^2+x^4+x^5}{6} +\left(\frac{x^3+x^6}{6}\right)^4.$$ 各目が出る確率は $1/6$ なので，この式は各終了経路の確率を過不足なく表している。次数9以下の係数は $$\begin{array}{c|rrrrrr} s&1&2&4&5&7&8\\ \hline 1296[x^s]G(x)&216&216&252&252&78&78 \end{array}$$ であり，$x^3,x^6,x^9$ の係数は $0$ である。なお，和が4,5となる経路には，最後の目がそれぞれ4,5となる場合と，先に3が出た後に1,2が出る場合が含まれる。

(1) $X<6$ の確率は $$\displaystyle \Pr(X<6)=\frac{216+216+252+252}{1296}=\frac{13}{18}$$ であるから， $$\displaystyle \Pr(S_1\ge 6)=1-\frac{13}{18}=\frac{5}{18}.$$ また，1回の試行の和が6となる経路はないので，$\displaystyle \Pr(S_1\ge 7)=\Pr(S_1\ge 6)=\frac{5}{18}$.

(2) 2回の試行は独立で，$S_1,S_2$ はともに $X$ と同じ分布をもつ。和が9となる組は $(1,8),(8,1),(2,7),(7,2),(4,5),(5,4)$ だから， $$\displaystyle \Pr(S=9)=\frac{4\cdot216\cdot78+2\cdot252\cdot252}{1296^2} =\frac{194400}{1296^2}=\frac{25}{216}.$$

(3) $F(x)=1296G(x)$ とおく。$S_1,S_2$ は正の整数なので，$S\le10$ の確率を求めるには $F(x)^2$ の2次から10次までの係数を足せばよい。係数の和は $$\displaystyle \sum\limits _{r=2}^{10}[x^r]F(x)^2 =46656+93312+46656+108864+217728+108864+97200+194400+97200 =1010880.$$ したがって， $$\displaystyle \Pr(S\ge11)=1-\Pr(S\le10) =1-\frac{1010880}{1296^2} =1-\frac{65}{108} =\frac{43}{108}.$$