1札幌医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 正六角形の中心を $O$ とする。隣り合う頂点 $A,B$ に対する中心角は $60^\circ$ であり、$OA=OB=1$ だから、三角形 $OAB$ は正三角形で $AB=1$ である。また、$P(0,0,a)$ より $PA=PB=\sqrt{1+a^2}$ である。三角形 $PAB$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle \cos45^\circ=\frac{PA^2+PB^2-AB^2}{2PA\cdot PB} =\frac{1+2a^2}{2(1+a^2)}.$$ したがって $$\displaystyle 1+2a^2=\sqrt{2}(1+a^2),\qquad a^2=\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}=\frac1{\sqrt{2}}.$$ $a>0$ より $a=2^{-1/4}$ である。底面の正六角形は一辺 $1$ の正三角形6個に分けられるから、その面積は $\displaystyle 6\cdot\frac{\sqrt{3}}4=\frac{3\sqrt{3}}2$。よって六角錐の体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac{3\sqrt{3}}2\cdot 2^{-1/4} =\frac{\sqrt{3}}{2^{5/4}}.$$

(2) (i) $x>0$ では $1/x$ は減少するので、各 $k=1,\ldots,n$ について $$\displaystyle \int_{2k-1}^{2k+1}\frac{1}{x}\,dx < \int_{2k-1}^{2k+1}\frac{1}{2k-1}\,dx =\frac{2}{2k-1}.$$ これらを加えると $$\displaystyle \int_1^{2n+1}\frac{1}{x}\,dx =\sum\limits _{k=1}^n\int_{2k-1}^{2k+1}\frac{1}{x}\,dx <2\sum\limits _{k=1}^n\frac{1}{2k-1}=2a_n$$ となり、示された。

(ii) (i) より $\displaystyle \frac12\log(2n+1)<a_n$ である。一方、$k\ge2$ では $x\le 2k-1$ のとき $1/x\ge1/(2k-1)$ だから、 $$\displaystyle \frac{1}{2k-1}\le\frac12\int_{2k-3}^{2k-1}\frac{1}{x}\,dx.$$ したがって $n\ge2$ に対して $$\displaystyle a_n\le 1+\frac12\int_1^{2n-1}\frac{1}{x}\,dx =1+\frac12\log(2n-1).$$ $n>1$ で $\log n>0$ なので、 $$\displaystyle \frac{\log(2n+1)}{2\log n} < \frac{a_n}{\log n} \le \frac{1}{\log n}+\frac{\log(2n-1)}{2\log n}.$$ ここで $$\displaystyle \frac{\log(2n\pm1)}{\log n} =1+\frac{\log(2\pm1/n)}{\log n}\longrightarrow1$$ であるから、はさみうちの原理により $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{\log n}=\frac12.$$

(3) $$123_{(5)}=1\cdot25+2\cdot5+3=38,\qquad 24_{(5)}=2\cdot5+4=14.$$ よって積は $38\cdot14=532$。これを5進法に直すと $$532=4\cdot125+1\cdot25+1\cdot5+2$$ であるから、答えは $4112_{(5)}$ である。