V日本大学 2026年 数学 第V問解答・解説

$\mathbf b=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf d=\overrightarrow{AD}$ とおく。$AB\parallel DC$ かつ $\displaystyle CD=\frac12 AB$ だから $\displaystyle \overrightarrow{DC}=\frac12\mathbf b$、従って $\displaystyle \overrightarrow{BC}=\mathbf d-\frac12\mathbf b$ である。

(1) $BC=2,\ DA=3,\ AB=4$ を用いると $$\displaystyle 4=|\overrightarrow{BC}|^2 =\left|\mathbf d-\frac12\mathbf b\right|^2 =|\mathbf d|^2+\frac14|\mathbf b|^2-\mathbf b\cdot\mathbf d =9+4-\mathbf b\cdot\mathbf d,$$ よって $\mathbf b\cdot\mathbf d=9$ である。$E$ は $AB$ の中点だから $\displaystyle \overrightarrow{DE}=\frac12\mathbf b-\mathbf d=-\overrightarrow{BC}$ となり、$DE=BC=2$ である。

(2) $\displaystyle \cos\angle BAD=\frac{\mathbf b\cdot\mathbf d}{|AB||AD|}=\frac{9}{12}=\frac34$ である。従って $\displaystyle \sin\angle BAD=\frac{\sqrt7}{4}$ だから $$\displaystyle [ABD]=\frac12\cdot AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD =\frac12\cdot4\cdot3\cdot\frac{\sqrt7}{4} =\frac{3\sqrt7}{2}.$$

(3) $C$ の位置ベクトルは $\displaystyle \mathbf d+\frac12\mathbf b$ なので、中点の位置ベクトルは $\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac34\mathbf b+\frac12\mathbf d$、$\displaystyle \overrightarrow{AN}=\frac14\mathbf b+\mathbf d$ である。$P$ は $AM$ 上にあるから $\displaystyle \overrightarrow{AP}=t(\frac34\mathbf b+\frac12\mathbf d)$ とおける。また $P$ は $BN$ 上にもあるから $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\mathbf b+s(-\frac34\mathbf b+\mathbf d)$ とおける。係数比較により $\displaystyle \frac34t=1-\frac34s,\ \frac12t=s$ となり、$\displaystyle t=\frac89,\ s=\frac49$。よって $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac23\mathbf b+\frac49\mathbf d$ である。

面積を求めるため、$AB$ を $x$ 軸上にとる。$\mathbf b\cdot\mathbf d=9$ より $\displaystyle D=(\frac94,\frac{3\sqrt7}{4})$ とでき、$B=(4,0)$、$\displaystyle C=(\frac{17}{4},\frac{3\sqrt7}{4})$ となる。上の位置ベクトルから $$\displaystyle P=(\frac{11}{3},\frac{\sqrt7}{3}),\quad M=(\frac{33}{8},\frac{3\sqrt7}{8}),\quad N=(\frac{13}{4},\frac{3\sqrt7}{4}).$$ 四角形 $PMCN$ の頂点をこの順に並べ、座標による面積公式を用いると、面積の2倍は $$\displaystyle \left(\frac{11}{3}\frac{3\sqrt7}{8}-\frac{\sqrt7}{3}\frac{33}{8}\right) +\left(\frac{33}{8}\frac{3\sqrt7}{4}-\frac{3\sqrt7}{8}\frac{17}{4}\right) +\left(\frac{17}{4}\frac{3\sqrt7}{4}-\frac{3\sqrt7}{4}\frac{13}{4}\right) +\left(\frac{13}{4}\frac{\sqrt7}{3}-\frac{3\sqrt7}{4}\frac{11}{3}\right) =\frac{7\sqrt7}{12}.$$ 従って四角形 $PMCN$ の面積は $\displaystyle \frac{7\sqrt7}{24}$ である。