IV日本大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

次の $1$〜$54$ の1つ1つには、$0$から$9$までの数字または負の符号 $-$ のいずれかが入る。それらを解答用紙の $1$〜$54$ にマークして答えなさい。ただし、分数はすべて既約分数で答え、負の分数のときは符号を分子につけなさい。また、根号の中の数は最も小さい自然数を用いて答えなさい。

1と書いてある玉が1個，2と書いてある玉が1個，$\ldots$，8と書いてある玉が1個の合わせて8個の玉が袋に入っている。この袋から1個の玉を取り出して，玉に書いてある数を記録して袋に戻す。この試行を繰り返し行い，$k$ 回目の試行で記録された数を $a_k$ とする。

(1) 試行を5回行うとき，$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ となるような玉の取り出し方は $\boxed{\phantom{0}}_{\text{23}}\boxed{\phantom{0}}_{\text{24}}$ 通りである。

(2) 試行を4回行うとき，$3\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq 6$ となるような玉の取り出し方は $\boxed{\phantom{0}}_{\text{25}}\boxed{\phantom{0}}_{\text{26}}$ 通りである。

(3) 試行を4回行うとき，$a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4=a_1+3$ となるような玉の取り出し方について，$a_1$ の最大値は $\boxed{\phantom{0}}_{\text{27}}$ であり，$a_1$ が最小であるときの玉の取り出し方は $\boxed{\phantom{0}}_{\text{28}}\boxed{\phantom{0}}_{\text{29}}$ 通りである。よって，試行を4回行うとき，$a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4=a_1+3$ となるような玉の取り出し方は $\boxed{\phantom{0}}_{\text{30}}\boxed{\phantom{0}}_{\text{31}}$ 通りである。