日本大学 2026年数学第III問解答・解説

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1問題

日本大学2026年度第III問

次の $1$ 〜 $54$ の1つ1つには、 $0$ から $9$ までの数字または負の符号 $-$ のいずれかが入る。それらを解答用紙の $1$ 〜 $54$ にマークして答えなさい。ただし、分数はすべて既約分数で答え、負の分数のときは符号を分子につけなさい。また、根号の中の数は最も小さい自然数を用いて答えなさい。　 $2^x+2^{-x}=3$ とする。

(1) $8^x+8^{-x}=\boxed{\phantom{0}}_{\text{18}}\boxed{\phantom{0}}_{\text{19}}$ である。

(2) $\displaystyle x=\log_2\left(\frac{\boxed{\phantom{0}}_{\text{20}}\pm\sqrt{\boxed{\phantom{0}}_{\text{21}}}}{\boxed{\phantom{0}}_{\text{22}}}\right)$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

指数を正の変数に置き換え、立方和の恒等式と二次方程式で処理した。対数の底が2なので、正の指数値をそのまま底2の対数に戻した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\space{}8^x+8^{-x}=18,$
$\displaystyle (2)\space{}x=\log_2\left(\frac{3\pm\sqrt5}{2}\right)$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $a=2^x,\ b=2^{-x}$ とおくと $a+b=3,\ ab=1$ である。また $8^x=a^3,\ 8^{-x}=b^3$ だから、 $8^x+8^{-x}=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=3^3-3\cdot1\cdot3=18.$

(2) $t=2^x$ とおけば $t>0$ であり、条件は $\displaystyle t+\frac1t=3$ となる。両辺に $t$ を掛けて $t^2-3t+1=0$ を得るから、 $\displaystyle t=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$ である。どちらも正なので両方が $t=2^x$ の値として可能であり、 $\displaystyle x=\log_2\left(\frac{3\pm\sqrt5}{2}\right)$ となる。

この問題で使う考え方

三次の乗法・因数分解公式
有理数指数と指数法則
対数とその性質
二次方程式の判別式

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