2佐賀大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $a=\sqrt[3]{\alpha}$，$b=\sqrt[3]{\beta}$ とおく。$\alpha,\beta$ は正の実数だから $a,b$ は正の実数で $$a^3=\alpha,\qquad b^3=\beta,\qquad ab=\sqrt[3]{\alpha\beta}$$ が成り立つ。仮定 $\displaystyle \alpha\beta=\left(\dfrac{p}{3}\right)^3$ と $p>0$ より $$\displaystyle ab=\sqrt[3]{\alpha\beta}=\sqrt[3]{\left(\frac{p}{3}\right)^3}=\frac{p}{3}.$$ また $a^3-b^3=\alpha-\beta=q$ である。恒等式 $$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$$ にこれらを代入すると，$x=a-b$ について $$\displaystyle x^3=(\alpha-\beta)-3\cdot\frac{p}{3}\,x=q-px,$$ すなわち $$x^3+px-q=0$$ が得られる。よって $x=\sqrt[3]{\alpha}-\sqrt[3]{\beta}$ は方程式 $x^3+px-q=0$ の解である。 $\blacksquare$

(2)　 方程式 $x^3+6x-2=0$ は，$p=6$，$q=2$ とした (1) の方程式 $x^3+px-q=0$ に一致する。そこで (1) の議論を逆向きに使い， $$\displaystyle \alpha-\beta=2,\qquad \alpha\beta=\left(\frac{6}{3}\right)^3=8$$ を満たす正の実数 $\alpha,\beta$ を求める。$\beta=\alpha-2$ を $\alpha\beta=8$ に代入すると $$\alpha(\alpha-2)=8\ \text{であるための必要十分条件は}\ \alpha^2-2\alpha-8=0\ \text{、すなわち}\ (\alpha-4)(\alpha+2)=0.$$ $\alpha>0$ より $\alpha=4$，このとき $\beta=\alpha-2=2$。実際 $\alpha=4>0$，$\beta=2>0$ で，$\alpha-\beta=2$，$\alpha\beta=8=(6/3)^3$ を満たすから，(1) の条件をすべて満たす。

したがって (1) より $$x=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$$ は $x^3+6x-2=0$ の解である。この3次方程式はただ1つの実数解しかもたない（証明不要と指定されている）から，これが求める実数解である。

（検算：$a=\sqrt[3]{4}$，$b=\sqrt[3]{2}$ とおくと $a^3=4$，$b^3=2$，$ab=\sqrt[3]{8}=2$ より $x^3=(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=4-2-6x=2-6x$，すなわち $x^3+6x-2=0$ が直接確かめられる。） $$\boxed{x=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}}$$

(3)　 $$\displaystyle A=1+\sqrt{\frac{28}{27}},\qquad B=-1+\sqrt{\frac{28}{27}}=\sqrt{\frac{28}{27}}-1$$ とおく。$\displaystyle \sqrt{\dfrac{28}{27}}=\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{27}}>1$（$28>27$ より）だから $A>0$，$B>0$ であり，どちらも正の実数である。このとき $$\displaystyle A-B=2,\qquad AB=\left(\sqrt{\frac{28}{27}}\right)^2-1^2=\frac{28}{27}-1=\frac{1}{27}=\left(\frac{1}{3}\right)^3.$$ これは (1) の条件 $\alpha-\beta=q$，$\alpha\beta=(p/3)^3$ を，$\alpha=A$，$\beta=B$，$q=2$，$p=1$ として満たす形になっている（$p=1>0$，$q=2>0$）。よって (1) の結果より， $$\displaystyle X=\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\frac{28}{27}}}$$ は方程式 $$x^3+x-2=0$$ の解である。

この3次方程式を因数分解する。$x=1$ を代入すると $1+1-2=0$ となるから，因数定理より $x-1$ を因数にもち， $$x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2).$$ $x^2+x+2=0$ の判別式は $1-4\cdot1\cdot2=-7<0$ だから，$x^2+x+2$ は実数解をもたない。したがって $x^3+x-2=0$ の実数解は $x=1$ のみである。

$X$ は正の実数の立方根どうしの差であり実数だから，$X=1$。すなわち $$\displaystyle \sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{28}{27}}}-\sqrt[3]{-1+\sqrt{\frac{28}{27}}}=1.$$ $$\boxed{1}$$