1佐賀大学 2020年 数学 第1問解答・解説

感染している事象を $A$、陽性反応を示す事象を $B$ とする。

(1) 感染しているとき陰性となる確率が $3/100$ なので、その余事象である陽性確率は $$\displaystyle P(B\mid A)=1-\frac3{100}=\frac{97}{100}.$$

(2) 感染している割合を $p=P(A)$ とおく。感染していない場合の陽性確率は $1/100$。集団の陽性割合を場合分けして $$\displaystyle \frac4{100} =\frac{97}{100}p+\frac1{100}(1-p).$$ これを解くと $$\displaystyle 4=97p+(1-p)=96p+1,\qquad p=\frac3{96}=\frac1{32}.$$

(3) 感染していない割合は $31/32$。感染していない人が陽性になる割合は $$\displaystyle P(\overline A\cap B)=\frac1{100}\cdot\frac{31}{32}.$$ 陽性者全体の割合で割ると、求める条件付き確率は $$\displaystyle P(\overline A\mid B) =\frac{(1/100)(31/32)}{4/100} =\frac{31}{128}.$$

答え

(1) $\displaystyle \frac{97}{100}$。 (2) $\displaystyle \frac1{32}$。 (3) $\displaystyle \frac{31}{128}$。