東京医科大学 2020年数学第4問解答・解説

1問題

東京医科大学2020年度第4問

ある試行の結果起こる三つの事象 $A$ と $B$ と $C$ について考える。事象 $A\cup B\cup C$ は全事象であり、それぞれの事象の確率が $\displaystyle P(A)=\frac{5}{8},\quad P(B)=\frac{3}{8},\quad P(C)=\frac{5}{16}$ であるとする。さらに、事象 $A\cap B$ と $C$ は互いに排反であり、 $B$ が起こったときの $A$ と $C$ のそれぞれの起こる条件つき確率が $\displaystyle P_B(A)=\frac{5}{8},\quad P_B(C)=\frac{1}{12}$ であるとする。

(1) 事象 $A\cap B$ の確率は $\displaystyle P(A\cap B)=\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ であり、 $A$ が起こったときの $B$ の起こる条件つき確率は $\displaystyle P_A(B)=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

(2) 事象 $B\cup C$ の確率は $\displaystyle P(B\cup C)=\frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}$ であり、 $\bar{C}$ が起こったときの $B$ の起こる条件つき確率は $\displaystyle P_{\bar{C}}(B)=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}$ である。ここで $\bar{C}$ は $C$ の余事象である。

(3) 事象 $A\cap C$ の確率は $\displaystyle P(A\cap C)=\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}$ であり、 $C$ が起こったときの $A\cup B$ の起こる条件つき確率は $\displaystyle P_C(A\cup B)=\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

条件付き確率の定義、和事象・余事象の公式、および三事象の包除原理を順に用いる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\space{}P(A\cap B)=\frac{15}{64},\quad P_A(B)=\frac{3}{8};$
$\displaystyle (2)\space{}P(B\cup C)=\frac{21}{32},\quad P_{\bar C}(B)=\frac{1}{2};$
$\displaystyle (3)\space{}P(A\cap C)=\frac{3}{64},\quad P_C(A\cup B)=\frac{1}{4}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

条件付き確率の定義より $\displaystyle P(A\cap B)=P_B(A)P(B)=\frac58\cdot\frac38=\frac{15}{64},\qquad P(B\cap C)=P_B(C)P(B)=\frac1{12}\cdot\frac38=\frac1{32}.$ したがって $\displaystyle P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{15/64}{5/8}=\frac38.$

次に、和事象の確率と余事象を用いると $\displaystyle P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C) =\frac38+\frac5{16}-\frac1{32}=\frac{21}{32}.$ また $\displaystyle P(B\cap\bar C)=P(B)-P(B\cap C)=\frac38-\frac1{32}=\frac{11}{32}, \quad P(\bar C)=1-\frac5{16}=\frac{11}{16}$ なので $\displaystyle P_{\bar C}(B)=\frac{P(B\cap\bar C)}{P(\bar C)} =\frac{11/32}{11/16}=\frac12.$

$A\cap B$ と $C$ は排反だから $P(A\cap B\cap C)=0$ である。三事象の包除原理と $P(A\cup B\cup C)=1$ より $1=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C).$ よって $\displaystyle P(A\cap C)=\frac58+\frac38+\frac5{16}-\frac{15}{64}-\frac1{32}-1 =\frac3{64}.$ さらに $(A\cap C)$ と $(B\cap C)$ は排反であるから $\displaystyle P_C(A\cup B) =\frac{P((A\cup B)\cap C)}{P(C)} =\frac{P(A\cap C)+P(B\cap C)}{P(C)} =\frac{3/64+1/32}{5/16} =\frac14.$

この問題で使う考え方

確率の基本法則
余事象
条件付き確率

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