東京医科大学 2020年数学第2問解答・解説

微分法積分法

このページには広告が含まれます。

1問題

東京医科大学2020年度第2問

第1象限での曲線 $C:\ x^4+y^2=25\quad (x>0\text{かつ}y>0)$ と $x$ 軸と $y$ 軸により囲まれた図形を $F$ とする。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(2,3)$ における接線の $y$ 切片を $b$ とすると $\displaystyle b=\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。

(2) 図形 $F$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とすると $V=\boxed{\text{エオ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}\,\pi$ である。

(3) 図形 $F$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $W$ とすると $\displaystyle W=\frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\,\pi^2$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

暗黙微分で接線を求め、回転軸に垂直な断面の面積を定積分する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad b=\frac{41}{3}.$
$(2)\quad V=20\sqrt5\pi.$
$\displaystyle (3)\quad W=\frac{25}{4}\pi^2.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

曲線上で $y>0$ だから，暗黙微分して $4x^3+2yy'=0$ より $y'=-2x^3/y$ 。点 $(2,3)$ では傾き $-16/3$ なので，接線は $\displaystyle y-3=-\frac{16}{3}(x-2)$ ，すなわち $\displaystyle y=-\frac{16}{3}x+\frac{41}{3}$ 。よって $y$ 切片は $41/3$ 。

$x$ 軸まわりの回転では， $0\le x\le\sqrt5$ における断面の半径は $y=\sqrt{25-x^4}$ である。したがって $\displaystyle V=\pi\int_0^{\sqrt5}(25-x^4)\,dx=\pi\left[25x-\frac{x^5}{5}\right]_0^{\sqrt5}=20\sqrt5\pi.$

$y$ 軸まわりでは， $0\le y\le5$ における断面は半径 $x=(25-y^2)^{1/4}$ の円盤である。その面積は $\pi x^2=\pi\sqrt{25-y^2}$ 。よって $\displaystyle W=\pi\int_0^5\sqrt{25-y^2}\,dy.$ 積分部分は半径5の四分円の面積 $25\pi/4$ であるから， $W=25\pi^2/4$ 。

この問題で使う考え方

合成関数の微分
曲線の接線
不定積分・定積分の性質
定積分による体積

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。