3大阪医科薬科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) 最初の2個が赤青の順、または青赤の順となる確率を足すと $$\displaystyle P(A)=2\cdot\frac{m}{2m}\cdot\frac{m}{2m-1}=\frac{m}{2m-1}.$$ 4個全体で赤2個、青2個となる場合の数は $\displaystyle \binom m2^2$、4個の選び方は $\displaystyle \binom{2m}4$ だから $$\displaystyle P(B)=\frac{\binom m2^2}{\binom{2m}4}=\frac{3m(m-1)}{2(2m-1)(2m-3)}.$$

(2) $A$ が起きた後は赤玉、青玉がそれぞれ $m-1$ 個残る。残り2個が赤青の組になる確率は $$\displaystyle \frac{2(m-1)^2}{(2m-2)(2m-3)}=\frac{m-1}{2m-3}.$$ したがって $$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac{m}{2m-1}\cdot\frac{m-1}{2m-3} =\frac{m(m-1)}{(2m-1)(2m-3)}.$$

(3) 包含排除の関係から $$\displaystyle P(A^c\cap B^c)=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B) =\frac{3(m-1)(m-2)}{2(2m-1)(2m-3)}.$$ いずれも $m\ge4$ で分母は正である。