2大阪医科薬科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$AB=\cos\theta$, $AC=\sin\theta$ である。$A$ から $BC$ に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、三角形の面積を二通りに表して $$h=2S=AB\cdot AC=\sin\theta\cos\theta.$$ 三角形を $BC$ の周りに回転すると、半径 $h$ の底面を共有する二つの円錐ができる。二つの高さの和は $BC=1$ なので $$\displaystyle V=\frac13\pi h^2\cdot 1=\frac{\pi}{3}\sin^2\theta\cos^2\theta.$$ また $$\displaystyle S=\frac12\sin\theta\cos\theta,\qquad l=1+\sin\theta+\cos\theta.$$ よって $$\displaystyle \frac{V}{Sl}=\frac{2\pi}{3}\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta} =\frac{\pi}{3}(\sin\theta+\cos\theta-1),$$ ここでは $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いた。さらに $$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta\le 2,$$ 等号は $\sin\theta=\cos\theta$、すなわち $\theta=\pi/4$ のときに成り立つ。したがって求める角は $\theta=\pi/4$ である。