1大阪医科薬科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

正三角形の頂点 $A_n$ で、辺 $A_{n-1}A_n$ と $A_nA_{n+1}$ のなす角は $60^\circ$ である。また $P_{n-1}$ は辺 $A_{n-1}A_n$ 上にあり、$A_{n-1}P_{n-1}=a_{n-1}$ だから $$A_nP_{n-1}=1-a_{n-1}.$$ $P_{n-1}$ から $A_nA_{n+1}$ に下ろした垂線の足を $P_n$ とすると、直角三角形 $A_nP_{n-1}P_n$ において $$\displaystyle a_n=A_nP_n=A_nP_{n-1}\cos60^\circ=\frac{1-a_{n-1}}2.$$ したがって $$\displaystyle a_n-\frac13=-\frac12\left(a_{n-1}-\frac13\right),$$ より、帰納的に $$\displaystyle a_n-\frac13=\left(-\frac12\right)^n\left(a_0-\frac13\right).$$ $\displaystyle \left| -\frac12\right|<1$ なので右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束し、$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac13$ である。