5大阪医科薬科大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) $c_n(x)$ に部分積分を用い、$u=t^n$, $dv=\cos t\,dt$ とすると、$n\ge1$ より端点の $t=0$ の項は $0$ である。したがって $$\displaystyle c_n(x)=x^n\sin x-n\int_0^x t^{n-1}\sin t\,dt=x^n\sin x-ns_{n-1}(x).$$ 同様に $s_n(x)$ で $u=t^n$, $dv=\sin t\,dt$ とすれば $$\displaystyle s_n(x)=-x^n\cos x+n\int_0^x t^{n-1}\cos t\,dt=-x^n\cos x+nc_{n-1}(x).$$

(2) $n\ge2$ とする。まず $f_n(x)$ に部分積分を用いると $$\displaystyle f_n(x)=n\int_0^x t^{n-1}\sin(x-t)\,dt.$$ この積分に再び部分積分を用い、$d(\cos(x-t))/dt=\sin(x-t)$ に注意すると $$\displaystyle \int_0^x t^{n-1}\sin(x-t)\,dt=x^{n-1}-(n-1)f_{n-2}(x).$$ よって $$f_n(x)=nx^{n-1}-n(n-1)f_{n-2}(x).$$

(3) $f_0(x)=\sin x$ なので、(2)から $$f_2(x)=2x-2\sin x,\qquad f_4(x)=4x^3-12f_2(x)=4x^3-24x+24\sin x.$$ したがって $$\displaystyle \frac14f_4(x)+3f_2(x)=x^3.$$ 積分の線形性により、$\displaystyle h(t)=\dfrac{t^4}{4}+3t^2$ とすれば、求める積分は $\displaystyle \dfrac14f_4(x)+3f_2(x)=x^3$ となる。