III愛知医科大学 2021年 数学 第III問解答・解説

1) $f(x)=x\sin x$ を微分すると $$f'(x)=\sin x+x\cos x,\qquad f''(x)=2\cos x-x\sin x.$$ $\displaystyle 0<x\leq\frac{\pi}{2}$ では $f'(x)>0$ である。また $\displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\pi$ では $f''(x)<0$ だから、$f'(x)$ はこの区間で単調に減少する。さらに $$\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=1>0,\qquad f'(\pi)=-\pi<0.$$ よって中間値の定理と単調性から、$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ と $\pi$ の間に $f'(x)=0$ となる点 $c$ がただ一つ存在する。したがって $f'(x)>0$ は $0<x<c$ で、$f'(x)<0$ は $c<x\leq\pi$ で成り立つ。よって $f$ は $0\le x\le c$ で増加し $c\le x\le\pi$ で減少するので、$0\le x\le\pi$ の範囲 で極大値をただ一つ持つ。

2) $0<t<c$ では $f$ は増加し、$f(0)=0$ だから、与えられた不等式の表す領域は $0\le x\le t$ で $f(x)\leq y\leq f(t)$、$t\le x\le c$ で $f(t)\leq y\leq f(x)$ となる。したがって $$\displaystyle S(t)=\int_0^t\{f(t)-f(x)\}\,dx+\int_t^c\{f(x)-f(t)\}\,dx.$$ $\displaystyle \int_0^a x\sin x\,dx=\sin a-a\cos a$ より $$S(t)=\sin c-c\cos c-2(\sin t-t\cos t)+(2t-c)t\sin t.$$ これを微分すると $$S'(t)=(2t-c)(\sin t+t\cos t)=(2t-c)f'(t).$$ $0<t<c$ では $f'(t)>0$ であるから、$t<c/2$ で $S'(t)<0$、$t>c/2$ で $S'(t)>0$ となる。したがって $S(t)$ は $t=c/2$ で最小となる。