6東北大学 2020年 数学 第6問解答・解説

(1) $x\mapsto\pi/2-x$ と置換すると $\cos x=\sin(\pi/2-x)$, $\sin x=\cos(\pi/2-x)$ だから $A(m,n)=A(n,m)$ である。また $\cos^2x+\sin^2x=1$ より $$A(m+2,n)+A(m,n+2)=A(m,n).$$

(2) $$\displaystyle A(m,1)=\int_0^{\pi/2}\cos^m x\sin x\,dx =\left[-\frac{\cos^{m+1}x}{m+1}\right]_0^{\pi/2}=\frac1{m+1}.$$

(3) 部分積分で $u=\sin^{n+1}x$, $dv=\sin x\cos^m x\,dx$ とする。対応する $v=-\cos^{m+1}x/(m+1)$ であり、端点項 $uv$ はともに0となる。従って $$\displaystyle \begin{aligned} A(m,n+2)&=\int_0^{\pi/2}\sin^{n+1}x\,\sin x\cos^m x\,dx\\ &=\frac{n+1}{m+1}\int_0^{\pi/2}\sin^n x\cos^{m+2}x\,dx =\frac{n+1}{m+1}A(m+2,n). \end{aligned}$$

(4) $n=2r+1$ が奇数なら、(3) を繰り返して $$\displaystyle A(m,n)=\left(\prod\limits _{j=0}^{r-1}\frac{n-1-2j}{m+1+2j}\right)A(m+2r,1) =\left(\prod\limits _{j=0}^{r-1}\frac{n-1-2j}{m+1+2j}\right)\frac1{m+2r+1},$$ となり有理数である（$r=0$ なら積は1）。$m$ が奇数の場合は (1) の対称性で $A(m,n)=A(n,m)$ として同じ議論を使える。従ってどちらかが奇数なら $A(m,n)$ は有理数。