5東北大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) 　 $t$ は実数なので、分母を有理化すると $$\displaystyle z=-\frac1{t+i}\frac{t-i}{t-i} =-\frac{t-i}{t^2+1} =\frac{-t+i}{t^2+1}.$$ 従って $$\displaystyle \operatorname{Re}z=-\frac{t}{t^2+1},\qquad \operatorname{Im}z=\frac1{t^2+1}.$$

(2) 　 $$\displaystyle z-\frac i2=-\frac1{t+i}-\frac i2 =-\frac{1+it}{2(t+i)}.$$ よって $$\displaystyle \left|z-\frac i2\right| =\frac{|1+it|}{2|t+i|} =\frac{\sqrt{1+t^2}}{2\sqrt{t^2+1}} =\frac12.$$

(3) 　 $z=x+iy$ とおくと、(1) より $$\displaystyle x=-\frac{t}{t^2+1},\qquad y=\frac1{t^2+1}.$$ 従って $$\displaystyle x^2+y^2=\frac{t^2+1}{(t^2+1)^2} =\frac1{t^2+1}=y,$$ すなわち $$\displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14.$$ さらに $-1\le t\le1$ から $1/2\le y\le1$ なので、軌跡はこの円の上半円に含まれる。 逆に、この上半円上の点 $(x,y)$ に対し $1/2\le y\le1$ であり、 $x^2=y-y^2$ だから $t=-x/y$ とおけば $$\displaystyle 0\le t^2=\frac{x^2}{y^2}=\frac1y-1\le1.$$ 従って $-1\le t\le1$ であり、 $y=1/(1+t^2),\ x=-t/(1+t^2)$ となる。よって上半円全体が描かれる。 端点は $t=-1,1$ における $(1+i)/2,(-1+i)/2$、最高点は $t=0$ における $i$ である。